வீச்சு (கணிதம்)

கணிதத்தில் ஒரு சார்பின் வீச்சு (range) என்பது அச்சார்பின் இணையாட்களம் (கணிதம்) அல்லது எதிருருவைக் குறிக்கும். தற்காலப் பயன்பாட்டில், வீச்சு என்பது எதிருருவையே குறிக்கிறது. ஒரு சார்பின் இணையாட்களம் என்பது ஏதேனுமொரு குறிப்பிலா கணமாகும். மெய்யெண் பகுவியலில் மெய்யெண்கள் கணமாகவும், சிக்கலெண் பகுவியலில் சிக்கலெண்கள் கணமாகவும் இணையாட்களம் அமையும். ஒரு சார்பின் வெளியீடுகள் அனைத்தும் கொண்ட கணமானது, அச்சார்பின் எதிருருவாகும். ஒரு சார்பின் எதிருரு, அச்சார்பின் இணையாட்களத்தின் உட்கணம் ஆகும்.

ஆட்களம் X இலிருந்து இணையாட்களம் (கணிதம்) Y க்கு வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு $f$. Y இன் உட்புறமுள்ள மஞ்சள் நிற சிறு நீளுருண்டை, $f$ இன் எதிருரு ஆகும். சிலசமயம் "வீச்சு" என்பது எதிருருவையும், வேறு சிலசமயங்களில் இணையாட்களத்தையும் குறிக்கும்.

இருவிதப் பயன்பாடுகள்

பழைய புத்தகங்களில் வீச்சு என்ற சொல்லானது, தற்போது இணையாட்களம் என்று அழைக்கப்படும் கணத்தைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்பட்டது. தற்காலப் புத்தகங்களில் வீச்சானது எதிருவைக் குறிக்கிறது. குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காகச் சில தற்காலப் புத்தகங்களில் இவ்வார்த்தை பயன்படுத்தப்படுவதே இல்லை

எடுத்துக்காட்டு: மெய்யெண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு $f(x)=x^{2}.$

இச்சார்பின் இணையாட்களம்: மெய்யெண்கள் கணமான $\mathbb {R}$.

இச்சார்பின் எதிருரு: எந்தவொரு மெய்யெண்ணின் வர்க்கமும் எப்பொழுதும் எதிர்மமாக இருக்காது என்பதால், இச்சார்பின் எதிருரு, எதிர்மலா மெய்யெண்களின் கணம் $\mathbb {R} ^{+}$ ஆகும்.

எனவே இச்சார்புக்கு இணையாட்களத்தைக் குறிக்க வீச்சைப் பயன்படுத்தினால் வீச்சு $\mathbb {R}$ ஆகவும், எதிருருவைக் குறித்தால் $\mathbb {R} ^{+}$ ஆகவும் இருக்கும்.

சில சார்புகளின் இணையாட்களமும் எதிருருவும் சமமாக இருக்கும். இவ்வாறு இணையாட்களமும் எதிருருவும் சமமாகவுள்ள சார்பு முழுக்கோப்பு ஆகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

$f(x)=2x$ என்ற மெய்யெண்களில் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பின் இணையாட்களமும், எதிருருவும் சமமாக மெய்யெண்களின் கணமாக இருக்கும்.

வரையறை

வீச்சு என்பது இணையாட்களத்தைக் குறித்தால், சார்பின் எதிருரு எது என்பது குறிப்பிடப்பட வேண்டும். பெரும்பாலும்

இணையாட்களம் மெய்யெண்களின் கணமாகவும்,

எதிருரு $\{$$y=f(x)\mid x\in$ஆட்களம்$\}$ என்ற கணமாகவும் இருக்கும்.

வீச்சு என்பது எதிருருவைக் குறிக்கும்போது, சார்பின் இணையாட்களம் எது என்பது குறிப்பிடப்பட வேண்டும்.

$\{$$y=f(x)\mid x\in$ ஆட்களம்$\}$ என்பது சார்பின் எதிருருவாக, அதாவது வீச்சாகவும்,

இணையாட்களம் மெய்யெண்களின் கணமாகவும் இருக்கும்.

வீச்சு என்பது இணையாட்களத்தை அல்லது வீச்சைக் குறிக்கும் இருவிதங்களிலும்,

f இன் எதிருரு⊆ f இன் வீச்சு ⊆ f இன் இணையாட்களம் என்ற முடிவில் குறைந்தது ஒருபகுதியாவது சமக்குறி கொண்டதாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Childs (2009). A Concrete Introduction to Higher Algebra. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-74527-5. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 173498962.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-43334-7. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 52559229.
• Hungerford, Thomas W. (1974). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 73. Springer. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90518-9. இணையக் கணினி நூலக மைய எண் 703268.
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis (2nd ed.). McGraw Hill. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-07-054236-8.