ஹர்ஷத் எண்

பொழுதுபோக்குக் கணிதத்தில், தனது இலக்கங்களின் கூட்டலால் வகுபடக்கூடிய முழு எண், ஹர்ஷத் எண் (Harshad number அல்லது Niven number) எனப்படும். n அடிமானத்தில் அமையும் ஹர்ஷத் எண்கள் n-ஹர்ஷத் எண்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. இந்தியக் கணிதவியலாளரான கப்ரேக்கரால் இவ்வெண்கள் வரையறுக்கப்பட்டன. harṣa (மகிழ்ச்சி) + da (தரும்) என்ற சமசுகிருத சொற்களிலிருந்து "ஹர்ஷத்" என்ற இப்பெயர் உருவானது. 1977 ஆம் ஆண்டு நடந்த எண் கோட்பாட்டு மாநாட்டில் இவ்வெண்கள் குறித்து, கனடிய-அமெரிக்கக் கணிதவியலாளரான ஐவான் எம். நிவின் சமர்ப்பித்த கட்டுரையின் காரணமாக “நிவின் எண்கள்” என்ற பெயராலும் அழைக்கப்படுகின்றன. சுழிக்கும் n க்கும் இடைப்பட்ட அனைத்து முழு எண்களும் n-ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.

எந்தவொரு அடிமானத்திலும் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும் எண் அனைத்து-ஹர்ஷத் எண் அல்லது அனைத்து-நிவின் எண் (all-Harshad number, all-Niven number) என அழைக்கப்படும். அவ்வாறான எண்கள் நான்கு மட்டுமே உள்ளன: 1, 2, 4, 6 ஆகிய நான்கு எண்கள் மட்டுமே அனைத்து அடிமானங்களிலும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும். எண் 12 ஆனது எட்டடிமானம் தவிர ஏனைய அடிமானங்களில் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

பத்தடிமானத்தில் 18 ஒரு ஹர்ஷத் எண். ஏனெனில், அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+8=9. மேலும் 18 ஆனது ஒன்பதால் வகுபடுகிறது.

ஆனால் பத்தடிமானத்தில் 19 ஹர்ஷத் எண் அல்ல; ஏனெனில் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+9=10. ஆனால் எண் 19 ஆனது பத்தால் வகுபடாது.

வரையறை

n அடிமான நேர் முழுஎண் X இன் இலக்கங்கள் a_i (i = 0, 1, ..., m − 1) எனில், X ஐப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$X=\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}n^{i}.$

பின்வரும் கூற்று உண்மையாகுமாறு A என்றதொரு முழு எண் இருக்குமானால் X ஒரு n அடிமான ஹர்ஷத் எண்ணாகும்.:

$X=A\sum _{i=0}^{m-1}a_{i}.$

பத்தடிமான ஹர்ஷத் எண்களின் தொடர்முறை:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, 102, 108, 110, 111, 112, 114, 117, 120, 126, 132, 133, 135, 140, 144, 150, 152, 153, 156, 162, 171, 180, 190, 192, 195, 198, 200, ... (OEIS-இல் வரிசை A005349)

பண்புகள்

ஒன்பதால் வகுபடும் தன்மையறியும் சோதனையால், ஒன்பதால் வகுபடும் எண்கள் அனைத்தும் ஹர்ஷத் எண்கள் போலத் தோன்றலாம். ஆனால் அது உண்மையல்ல. எடுத்துக்காட்டாக 99 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல. ஏனென்றால் அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 9 +9 = 18, ஆனால் 99 ஆனது 18 ஆல் வகுபடாது.

அடிமான எண்ணும் அதன் அடுக்குகளும் அதே அடிமானத்தில் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்கும்.

ஒரு பகா எண் ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்க வேண்டுமானால், அது அடிமான எண்ணுக்குச் சமமான எண்ணாகவோ அல்லது அதைவிடச் சிறிய எண்ணாகவோ இருக்க வேண்டும். பத்தடிமானத்தில் 11 ஒரு பகா எண்; மேலும் அது அடிமான எண்ணான 10 ஐவிடப் பெரியது. அதன் இலக்கங்களின் கூடுதல் 1+ 1 = 2. ஆனால் 11 ஆனது 2 ஆல் வகுபடாது. அதனால் 11 ஒரு ஹர்ஷத் எண் அல்ல.

பத்தடிமானத்தில் தொடர்பெருக்கங்களின் தொடர்முறையானது ஹர்ஷத் எண்களைக் கொண்டு தொடங்குவதால், அனைத்து தொடர்பெருக்கங்களும் ஹர்ஷத் எண்களாக இருக்குமெனக் கூறமுடியாது. ஹர்ஷத் எண்ணாக அமையாத முதல் தொடர்பெருக்கம் 432! ஆகும்.

மடங்கு ஹர்ஷத் எண்கள்

இலக்கங்களின் கூடுதலால் வகுக்கப்படும் போது கிடைக்கும் ஈவு எண்ணும் ஒரு ஹர்ஷத் எண்ணாக இருக்கக்கூடிய ஹர்ஷத் எண் மடங்கு ஹர்ஷத் எண் ( multiple Harshad number) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

6804 "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-3" ஆகும்:

${\begin{array}{l}6804/18=378\\378/18=21\\21/3=7\end{array}}$

2016502858579884466176 , "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12" ஆகும்.

10080000000000 = 1008·10¹⁰, மற்றொரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-12" ஆகும். பொதுவாக, 1008·10ⁿ ஒரு "மடங்கு ஹர்ஷத் எண்-(n+2)" ஆக இருக்கும்.

வெளியிணைப்புகள்

• Harshad Numbers பரணிடப்பட்டது 2013-11-01 at the வந்தவழி இயந்திரம்