1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯

கணிதத்தில் 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ என்பது, கணித வரலாற்றிலேயே கூட்டுத்தொகை கணக்கிடப்பட்ட முதல் முடிவிலாத் தொடராகும்; சுமார் கிமு 250–200  காலத்தில் கணிதவியலாளர் ஆர்க்கமெடசால் பயன்படுத்தப்பட்டது.

ஆர்க்கமெடசின் படம்: a = 3/4

இது முதல் உறுப்பாக 1/4, பொதுவிகிதமாக 1/4 கொண்ட ஒரு பெருக்குத்தொடராகும். எனவே முடிவிலாப் பெருக்குத்தொடரின் கூட்டுத்தொகைக்கான வாய்பாட்டை பயன்படுத்திக் கூடுதல் காண: $$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {\frac {1}{4}}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {1}{3}}.$$

படவழி விளக்கங்கள்

3s = 1.

ஒரு சதுரத்தை அதன் பரப்பளவில் 1/4 பங்கு பரப்பளவுகொண்ட வடிவொத்த நான்கு சதுரங்களாகப் பிரிக்கலாம். இது முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும். எனவே 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯ தொடரை படங்கள் மூலமாக எளிதாக விளக்கமுடியும்.

முதல் படத்தில் மிகப் பெரிய சதுரத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால்:

படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு 1/2 × 1/2 = 1/4.

இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு 1/16; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு சதுரத்தின் பரப்பளவு 1/64 எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும்.

எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு சதுரங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு 1/4 + 1/16 + 1/64 + ⋯ ஆகும்.

இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்களாகவும் இருக்கும். இம்மூன்று நிறச் சதுரங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூலச் சதுரத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ணச் சதுரங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல்:

$$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$$

$$\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)={\frac {1}{3}}.$$

3s = 1

மேற்கூறிய பண்பு சதுரத்திற்கு மட்டுமல்லாது முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும் என்பதால்:

இரண்டாவது படத்தில், மிகப் பெரிய முக்கோணத்தின் பரப்பளவை 1 அலகு எனக்கொண்டால்,

படத்திலுள்ள மிகப்பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 1/2 × 1/2 = 1/4.

இதேபோல இரண்டாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 1/16; மூன்றாவது பெரிய கருப்பு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு 1/64 எனச் சென்றுகொண்டே இருக்கும்.

எனவே, படத்திலுள்ள அனைத்து கருப்பு முக்கோணங்களின் மொத்தப் பரப்பளவு1/4 + 1/16 + 1/64 + ⋯ ஆகும்.

இதே முடிவு படத்திலுள்ள அடர்சாம்பல்நிறச் முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் வெள்ளை முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலுக்கும் பொருந்தும். இம்மூன்று நிறச் முக்கோணங்கள் மொத்தமும் சேர்ந்து மூல முக்கோணத்தை முழுவதாக நிரப்பும் என்பதால் அம்மூன்று வண்ண முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் மூல முக்கோணத்தின் பரப்பளவான 1 அலகாக இருக்கும்.

$$3\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)=1.$$

$$\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{4^{3}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots \right)={\frac {1}{3}}.$$

ஆர்க்கமெடசின் விளக்கம், சற்றே மாறுபட்ட ஆனால் மேலுள்ள சமன்பாட்டிற்கு மிகவும் நெருங்கியதாகும்:

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3}{4^{n}}}={\frac {3}{4}}+{\frac {3}{4^{2}}}+{\frac {3}{4^{3}}}+{\frac {3}{4^{4}}}+\cdots =1.$$

ஆர்க்கமெடசின் நிறுவல்

பரவளைவு; அதன் வெட்டுக்கோடு AE இன் மீதுள்ள புள்ளிகள் சம இடைவெளியில் அமைந்துள்ளன. ABC, CDE முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதல் ACE முக்கோணத்தின் பரப்பளவில் 1/4 பங்காக இருப்பதை ஆர்க்கமெடசு நிறுவினார். பின்னர் இவற்றின் மீது மேலும் நான்கு முக்கோணங்களை அமைத்தார். அவற்றின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலானது ABC, CDE முக்கோணங்களின் பரப்பளவுகளின் கூடுதலின் 1/4 பங்கு. அடுத்து அவற்றின் மீது இதே பண்பை நிறைவு செய்யும் எட்டு முக்கோணங்களை அமைத்தார். இதே முறையில் முக்கோண அமைப்பைப் தொடர, வெட்டுக்கோட்டிற்கும் பரவளைவுக்கும் இடைப்பட்ட பரப்பளவானது ACE முக்கோணத்தின் பரப்பளவைப் போல 4/3 மடங்காக உள்ளதைக் கண்டறிந்தார்.

ஆர்க்கமெடஸ் அவரது "பரவளைவின் சதுர சரிவீடு" (Quadrature of the Parabola) நூலில் இந்தத் தொடர் வரக்கண்டார். அவர் ஒரு பரவளையத்தின் உட்பரப்பளவை நீக்கல்முறையில் கண்டுபிடித்தார். பரவளையத்துக்குள் தொடர்ச்சியாக முக்கோணங்களை அமைத்தார். அமைப்பின் ஒவ்வொரு நிலையிலும் முந்தையை நிலையின் பரப்பளவில் 1/4 மடங்கைக் அதிகரித்தார். மொத்த பரப்பளவு அதன் துவக்க அமைப்புநிலையின் பரப்பளவைப்போல 4/3 மடங்காக இருக்கவேண்டும் என்பதே அவரது விருப்பம். இதனை அடைவதற்கு அவர் கீழ்வரும் துணைக்கோளை அறிமுகப்படுத்தினார்:

கூற்று 23.

A, B, C, D, ... , Z என்பவை தரப்பட்ட பரப்பளவுகள்; இவற்றுள் A -மிகப் பெரிய பரப்பளவு; ஒவ்வொரு பரப்பளவும் அதற்கடுத்ததன் பரப்பளவில் நான்கு மடங்கு எனில், ஆஅர்க்கமெடசின் கூற்று:

$$A+B+C+D+\cdots +Z+{\frac {1}{3}}Z={\frac {4}{3}}A.$$

இக்கூற்றினை நிறுவ, ஆர்க்கமெடசு முதலில் பின்வருவதை நிறுவிக்கொண்டார்:

$${\begin{array}{rcl}\displaystyle B+C+\cdots +Z+{\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Z}{3}}&=&\displaystyle {\frac {4B}{3}}+{\frac {4C}{3}}+\cdots +{\frac {4Z}{3}}\\[1em]&=&\displaystyle {\frac {1}{3}}(A+B+\cdots +Y).\end{array}}$$

மேலும்,

$${\frac {B}{3}}+{\frac {C}{3}}+\cdots +{\frac {Y}{3}}={\frac {1}{3}}(B+C+\cdots +Y).$$

பின்னர், இரண்டாவது சமன்பாட்டை முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்க: $$B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}={\frac {1}{3}}A$$

இருபுறமும் A ஐக் கூட்டத் தேவையான முடிவு கிடைக்கிறது.

$$A+B+C+\cdots +Z+{\frac {Z}{3}}=A+{\frac {1}{3}}A={\frac {4}{3}}A$$

ஆர்க்கமெடசின் இக்கூற்றின் இன்றைய வடிவம்:

1 + 1/4 + 1/16 + ⋯ தொடரின் பகுதிக் கூட்டுத்தொகைகள்: $$1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{4^{n}}}={\frac {1-\left({\frac {1}{4}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{4}}}}.$$

இருபுறமும் 1 − 1/4 ஆல் பெருக்க, இடதுபுறமுள்ள உறுப்புகளில் முதல் மற்றும் கடைசி உறுப்புகள் தவிர்த்த பிற உறுப்புகள் ஒன்றுக்கொன்று நீங்கலாகி விடுகின்றன.