1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

கணிதத்தில், 1 − 2 + 3 − 4 + ··· என்பது ஒன்றுவிட்டொன்று குறிமாற்றப்பட்ட நேர்முழுவெண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட முடிவில்லாத் தொடர் ஆகும். சிகுமாக் குறியீட்டு முறைப்படி, இத்தொடரின் முதல் n உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையை பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்.

0 + 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற தொடரின் முதல் 15000 உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டும் படம்

$\sum _{r=1}^{n}r(-1)^{r-1}.$

இத்தொடர் ஒருங்குவதில்லை. அதாவது, இத்தொடரின் முடிவிலி உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு முடிவுள்ள எல்லையேதும் இல்லை. இருப்பினும், 18ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் இலியோனாடு ஒயிலர் பின்வரும் முரண்போலிச் சமன்பாட்டைக் குறிப்பிட்டிருந்தார்.

$1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{4}}.$

முரண்போலிக்கான விளக்கம்

பின்வருமாறு குறித்த ஒழுங்கில், இத்தொடரை நான்கு தடவைகள் இட்டுக் கூட்டும்போது, முதலாவது 1ஐத் தவிர ஏனைய அனைத்து நேருறுப்புகளும் எதிருறுப்புகளும் சேர்ந்து சுழியத்திற்குச் சமனாகிவிடும். இத்தொடரின் நான்கு படிகளின் கூட்டுத்தொகை 1 என்பதனால், இத்தொடர் ${\frac {1}{4}}$இற்குச் சமனாகுதல் வேண்டும்.

  1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . 
    + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - . . . . . . 
        + 1 - 2 + 3 - 4 + . . . . . . . 
--------------------------------------------
= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . 

ஒருங்காமை

இத்தொடரின் உறுப்புகள் (1, -2, 3, -4, ...) 0ஐ அணுகுவதில்லை. ஆகவே, 1 − 2 + 3 − 4 + ... என்ற தொடர், உறுப்புத் தேர்வின்படி ஒருங்குவதில்லை.

இதனையும் பார்க்க

• தொடர் (கணிதம்)