அடிப்படை முக்கோணச் சமனின்மை

வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனின்மை அல்லது முக்கோணச் சமனிலி (triangle inequality) ஒரு முக்கோணத்தின் பக்கநீளங்களுக்கிடையே அமையக்கூடியத் தொடர்பைத் தருகிறது.

பக்க நீளங்கள் $x$ , $y$ , $z$ கொண்ட முக்கோணங்களின் முக்கோணச் சமனிலிக்கு மூன்று எடுத்துக்காட்டுகள் படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன. முதல் படம் சமனின்மைத் தன்மையைத் தெளிவாவாகக் கொண்டுள்ளது. கீழுள்ள இரு படங்களும் மூன்றாவது பக்கமான $z$ , மற்ற இரு பக்க நீளங்களின் கூடுதல் $x + y$ க்குக் கிட்டத்தட்ட சமமாகவுள்ள நிலையைக் காட்டுகின்றன.

கூற்று

எந்தவொரு முக்கோணத்திலும் அதன் ஏதேனும் இரு பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலானது, மூன்றாவது பக்கநீளத்தைவிட எப்பொழுதும் அதிகமானதாகவோ அல்லது சமமானதாகவோ இருக்கும்.^[1]^[2]

கணிதக் குறியீட்டில்

$x$ , $y$ , $z$ ஆகியவை ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் எனில் முக்கோணச் சமனிலியின்படி:

z\leq x+y,

இச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறியானது, பரப்பளவு சுழியாகவுள்ள முக்கோணங்களுக்கு மட்டுமே உண்மையாக இருக்கும். (அதாவது, மூன்று உச்சிகளும் ஒரே நேர்கோட்டில் அமையும் பொழுது)

யூக்ளிடிய வடிவவியலிலும் வேறுசில வடிவவியல்களிலும் முக்கோணச் சமனிலியானது, தொலைவு குறித்த தேற்றமாக அமைவதோடு திசையன் மற்றும் திசையன் நீளங்கள் வாயிலாக எழுதப்படுகின்றது:

\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|,

இதில் மூன்றாம் பக்கநீளமான $z$ , திசையன் கூட்டல் $x + y$ ஆல் பதிலிடப்படுகிறது. $x$ , $y$ இரண்டும் மெய்யெண்கள் எனில் அவற்றை $ℝ 1$ இல் அமையும் திசையன்களாகக் கொள்ளலாம். அப்போது முக்கோணச் சமனிலியானது தனி மதிப்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பாகிறது.

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியைத் தனிப்பட்ட முறையில் நிறுவதல் முடியுமென்றாலும், செங்கோண முக்கோணங்களில் பித்தகோரசு தேற்றத்தின் விளைவாகவும், பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு கொசைன் விதியின் விளைவாகவும் முக்கோணச் சமனிலி அமைகிறது.

முக்கோணச் சமனிலியிலுள்ள சமக்குறி உண்மையாக இருக்க வேண்டுமானால், அம் முக்கோணத்தின் கோணங்கள் $180°,$ $0°,$ $0°$ என இருத்தல் அவசியமாகிறது. அதாவது முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளும் ஒரே கோட்டில் அமையும் புள்ளிகளாக இருக்கும். எனவே யூக்ளிடிய வடிவவியலில், இரு புள்ளிகளுக்கிடைப்பட்ட மிகக்குறைந்த தொலைவு ஒரு நேர்கோடாக அமைகிறது.

கோள வடிவவியலில் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள மிகக்குறைந்த தொலைவு என்பது பெரு வட்டத்தின் வில்லாக இருக்கும். எனினும் கோள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலி உண்மையாக வேண்டுமானால், ஒரு கோளத்தின் மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவானது அப்புள்ளிகளை ஓரப்புள்ளிகளாகக் கொண்ட சிறு கோள கோட்டுத்துண்டாகக் ( $[0, π]$ இடைவெளியில் மையக்கோணம் கொண்டது) கொள்ளப்படல் வேண்டும்.^[3]^[4]

யூக்ளிடிய வடிவவியல்

தள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியின் நிறுவலுக்கான யூக்ளிடின் வரைதல்

படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள வரைமுறையைக் கொண்டு தள வடிவவியலில் முக்கோணச் சமனிலியை யூக்ளிட் நிறுவியுள்ளார்.^[5]

முக்கோணம் $ABC$ இன் ஒரு பக்கம் $BC$ மற்றும் $AB$ பக்கத்தின் நீட்சியிலமையும் கோட்டுத்துண்டு $BD$ ஐயும் சமபக்கங்களாகக் கொண்டு வரையப்படும் இருசமபக்க முக்கோணம் $BDC$ .
${\overline {BC}}{=}{\overline {BD}}\quad (1)$
$\beta >\alpha$ எனக் கொள்ளப்படுகிறது.
எனவே, ${\overline {AD}}>{\overline {AC}}\quad (2)$

நிறுவல்

{\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BD}}\,

={\overline {AB}}+{\overline {BC}}\,

----(1) இன்படி

{\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}\,

----(2) இன்படி

ஃ

{\overline {AB}}+{\overline {BC}}>{\overline {AC}}\,

யூக்ளிடின் ”கூறுகள்” புத்தகத்தில் இந் நிறுவல் உள்ளது (புத்தகம் 1 கூற்று 20).^[6]

முடிவுகளின் கணிதவடிவம்

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் $a$ , $b$ , $c$ (மூன்றும் நேர் எண்கள்) எனில், முக்கோணச் சமனிலியின்படி கிடைக்கக்கூடிய முடிவுகளின் கணிதவடிவ விளக்கம்:

$a+b>c,b+c>a,c+a>b.$
$|a-b|<c<a+b.$
$\max(a,b,c)<a+b+c-\max(a,b,c)$

\Rightarrow 2\max(a,b,c)<a+b+c

அதாவது முக்கோணத்தின் மிக நீளமான பக்கம், அம் முக்கோணத்தின் அரைச் சுற்றளவைவிடச் சிறியதாக இருக்கும்.

செங்கோண முக்கோணம்

இருசமபக்க முக்கோணத்தின் சமபக்கங்கள்:

AB = AC

. அடிப்பக்கக் கோணங்கள் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டால் இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

செங்கோண முக்கோணத்திற்கானச் சமனிலி:^[7]

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் செம்பக்கத்தின் நீளம்

முக்கோணத்தின் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீளங்களைக் காட்டிலும் அதிகமானதாகவும்,
அவற்றின் கூடுதலைவிடச் சிறியதாகவும் இருக்கும்.

இக் கூற்றின் இரண்டாவது பகுதி பொதுவான முக்கோணங்களுக்கு ஏற்கனவே நிறுவப்பட்டுள்ள முக்கோணச் சமனிலி என்பதால் செங்கோண முக்கோணத்திற்கும் அது உண்மையாகும்.
முதற்பகுதியின் நிறுவல்:

ஒரு இருசமபக்க முக்கோணம் $ABC$ இன் சமபக்கங்கள் $AB = AC$ . அடிப்பக்க கோணங்கள் ஒன்றிலிருந்து வரையப்படும் குத்துக்கோட்டால் இம் முக்கோணம் இரு செங்கோண முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவ்விரு செங்கோண முக்கோணங்களில் முக்கோணம் $ADC$ கொண்டு

நிறுவல்: எந்தவொரு முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்களின் கூடுதல் 180 பாகைகள் என்ற பண்பின்படி,

முக்கோணம் $ADC$ இல்,

\alpha +\gamma =\pi /2\ .

இதேபோல முக்கோணம் $ABC$ இல்,

2\beta +\gamma =\pi \ .

எனவே,

\alpha =\pi /2-\gamma ,\ \mathrm {while} \ \beta =\pi /2-\gamma /2\ ,

ஃ

\alpha <\beta \

\Rightarrow {\overline {\mathrm {AD} }}<{\overline {\mathrm {AB} }}

ஆனால் $AB = AC$ என்பதால்,

{\overline {\mathrm {AD} }}<{\overline {\mathrm {AC} }}\

அதாவது செம்பக்கம் $AC$ , பக்கம் $AD$ ஐ விடப் பெரியதாகும்:

{\overline {\mathrm {AC} }}>{\overline {\mathrm {AD} }}\

இதேபோல,

{\overline {\mathrm {AC} }}>{\overline {\mathrm {DC} }}\

என்பதையும் நிறுவலாம்.

பயன்பாடுகள்

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் கூட்டுத் தொடரில் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் $a$ , $a + d$ , $a + 2 d$ .

எனவே முக்கோணச் சமனிலியின் படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால்,

$0<a<2a+3d\,$
$0<a+d<2a+2d\,$
$0<a+2d<2a+d.\,$ ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.

இம் மூன்றும் நிறைவு செய்யப்பட வேண்டுமெனில் கீழ்வரும் முடிவு உண்மையாக இருக்க வேண்டும்:

a>0,-{\frac {a}{3}}<d<a.

^[8]

$d = a /3$ எனும்போது கிடைக்கும் செங்கோண முக்கோணம் பித்தகோரசு மும்மையான ( $3$ , $4$ , $5$ ) பக்க நீளங்கள் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தை ஒத்ததாக அமையும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் பெருக்குத் தொடராக அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் $a$ , $ar$ , $ar 2 .$

எனவே முக்கோணச் சமனிலியின்படி முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளம் மற்ற இருபக்கங்களின் கூடுதலைவிடச் சிறியது என்பதால்,

$0<a<ar+ar^{2}\,$
$0<ar<a+ar^{2}\,$
$0<ar^{2}<a+ar.\,$ ஆகிய மூன்று சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.

$a > 0$ , $r > 0$ எனில் முதல் மற்றும் மூன்றாவது சமனிலிகளிலிருந்து

{\begin{aligned}r^{2}+r-1&{}>0\\r^{2}-r-1&{}<0.\end{aligned}}\,

என்ற இரண்டு இருபடிச் சமனிலிகள் கிடைக்கின்றன.

இவ்விரண்டிலிருந்து $r$ இன் மதிப்பு அமையும் வீச்சு

\varphi -1<r<\varphi \,,a>0\,

^[9] என அமைகிறது. இதில்

φ

தங்க விகிதம் ஆகும்.

$r = \sqrt φ$ எனும்போது கிடைக்கும் முக்கோணம் கெப்லர் முக்கோணம் ஆகும்.

பல்கோணத்திற்குப் பொதுமைப்படுத்தல்

கணிதத் தொகுத்தறிதல் முறையில், முக்கோணச் சமனிலியை எந்தவொரு பல்கோணத்திற்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்:

ஒரு பல்கோணத்தின் எந்தவொரு பக்கத்தின் நீளமும் அதன் பிற பக்கங்களின் நீளங்களின் கூடுதலைவிட எப்பொழுதும் சிறியதாகவே இருக்கும்.

நாற்கரத்தில்

ஒரு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் பெருக்குத் தொடரில் அமைகிறது என்க. அதன் பக்க நீளங்கள் $a$ , $ar$ , $ar 2$ , $ar 3$ ஆகும். முக்கோணச் சமனிலியை இந்த நாற்கரத்துக்குப் பொதுமைப்படுத்த:

0<a<ar+ar^{2}+ar^{3}\,

0<ar<a+ar^{2}+ar^{3}\,

0<ar^{2}<a+ar+ar^{3}\,

0<ar^{3}<a+ar+ar^{2}.\,

$a > 0$ எனில், மேலுள்ள சமனிலிகளை a ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது:

r^{3}+r^{2}+r-1>0\,

r^{3}-r^{2}-r-1<0.\,

^[10]

இந்த இரு சமனிலியின் இடப்புறமுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்கள் டிரைபனொச்சி மாறிலி (tribonacci constant) மற்றுமதன் தலைகீழியாக அமைகின்றன. எனவே $r$ இன் வீச்சு:

1/ t < r < t

இதில் $t$ என்பது டிரைபனொச்சி மாறிலி ( ${\tfrac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}}{3}}$ , தோராய மதிப்பு = 1.83929 (OEIS-இல் வரிசை A058265)

எதிர் முக்கோணச் சமனிலி

தள வடிவவியலில் எதிர் முக்கோணச் சமனிலியின் கூற்று:^[11]

முக்கோணத்தின் ஒரு பக்க நீளமானது மற்ற இரு பக்க நீளங்களின் வித்தியாசத்தைவிட அதிகமானதாக அல்லது சமமானதாக இருக்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் $x$ , $y$ , $z$ எனில்,

z\geq x-y\,

மேற்கோள்கள்

↑ Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html
↑ Mohamed A. Khamsi, William A. Kirk (2001). "§1.4 The triangle inequality in $ℝ n$ ". An introduction to metric spaces and fixed point theory. Wiley-IEEE. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-41825-0.
↑ Oliver Brock, Jeff Trinkle, Fabio Ramos (2009). Robotics: Science and Systems IV. MIT Press. p. 195. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-262-51309-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
↑ Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to hyperbolic geometry. Springer. p. 17. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-94339-0.
↑ Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd ed.). Macmillan. p. 201. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-7167-4361-2.
↑ David E. Joyce (1997). "Euclid's elements, Book 1, Proposition 20". Euclid's elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2010-06-25. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameters: |trans_title=, |month=, |separator=, and |coauthors= (help)
↑ Claude Irwin Palmer (1919). Practical mathematics for home study: being the essentials of arithmetic, geometry, algebra and trigonometry. McGraw-Hill. p. 422.
↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<2a+3d, 0<a+d<2a+2d, 0<a+2d<2a+d,". Wolfram Research. http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%200%3Ca%3C2a%2B3d%2C%200%3Ca%2Bd%3C2a%2B2d%2C%200%3Ca%2B2d%3C2a%2Bd&t=ff3tb01. பார்த்த நாள்: 2010-09-07.
↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar², 0<ar<a+ar², 0<ar²<a+ar". Wolfram Research. http://wolframalpha.com/input?i=solve+0%3Ca%3Car%2Bar^2%2C+0%3Car%3Ca%2Bar^2%2C+0%3Car^2%3Ca%2Bar. பார்த்த நாள்: 2010-09-07.
↑ Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar²+ar³, 0<ar³<a+ar+ar²". Wolfram Research. http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%20{0%3Ca%3Ca*r%2Ba*r^2%2Ba*r^3%2C%200%3Ca*r^3%3Ca%2Ba*r%2Ba*r^2}&t=ff3tb01. பார்த்த நாள்: 2012-07-29.
↑ Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". The popular educator; fourth volume. Ludgate Hill, London: John Cassell. p. 196.

[1] Wolfram MathWorld - http://mathworld.wolfram.com/TriangleInequality.html

[Khamsi-2] Mohamed A. Khamsi, William A. Kirk (2001). "§1.4 The triangle inequality in $ℝ n$ ". An introduction to metric spaces and fixed point theory. Wiley-IEEE. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-41825-0.

[Ramos-3] Oliver Brock, Jeff Trinkle, Fabio Ramos (2009). Robotics: Science and Systems IV. MIT Press. p. 195. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-262-51309-9.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[Ramsay-4] Arlan Ramsay, Robert D. Richtmyer (1995). Introduction to hyperbolic geometry. Springer. p. 17. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-94339-0.

[Jacobs-5] Harold R. Jacobs (2003). Geometry: seeing, doing, understanding (3rd ed.). Macmillan. p. 201. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-7167-4361-2.

[Joyce-6] David E. Joyce (1997). "Euclid's elements, Book 1, Proposition 20". Euclid's elements. Dept. Math and Computer Science, Clark University. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2010-06-25. {{cite web}}: Cite has empty unknown parameters: |trans_title=, |month=, |separator=, and |coauthors= (help)

[Palmer-7] Claude Irwin Palmer (1919). Practical mathematics for home study: being the essentials of arithmetic, geometry, algebra and trigonometry. McGraw-Hill. p. 422.

[8] Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<2a+3d, 0<a+d<2a+2d, 0<a+2d<2a+d,". Wolfram Research. http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%200%3Ca%3C2a%2B3d%2C%200%3Ca%2Bd%3C2a%2B2d%2C%200%3Ca%2B2d%3C2a%2Bd&t=ff3tb01. பார்த்த நாள்: 2010-09-07.

[9] Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar², 0<ar<a+ar², 0<ar²<a+ar". Wolfram Research. http://wolframalpha.com/input?i=solve+0%3Ca%3Car%2Bar^2%2C+0%3Car%3Ca%2Bar^2%2C+0%3Car^2%3Ca%2Bar. பார்த்த நாள்: 2010-09-07.

[10] Wolfram|Alpha. "input: solve 0<a<ar+ar²+ar³, 0<ar³<a+ar+ar²". Wolfram Research. http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve%20{0%3Ca%3Ca*r%2Ba*r^2%2Ba*r^3%2C%200%3Ca*r^3%3Ca%2Ba*r%2Ba*r^2}&t=ff3tb01. பார்த்த நாள்: 2012-07-29.

[inequality-11] Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". The popular educator; fourth volume. Ludgate Hill, London: John Cassell. p. 196.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]