ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்

ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம் அல்லது ஆய்லரின் நாற்கர விதி (Euler's quadrilateral theorem, Euler's law on quadrilaterals) ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் (Euler–Pythagoras theorem) என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.

வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். $\mathbb {R} ^{n}$ இல், சுழற்சி கோட்டுருவாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.

தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும்

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் $a,b,c,d$; மூலைவிட்டங்கள் $e,$ $f$; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு $g$ எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}$

நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே $g$ கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:

$2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}$ (இணைகர விதி)

which is the parallelogram law.

நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:

$2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}$

இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:

$a^{2}+b^{2}=e^{2}$

அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.

மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும்

இணைகரத்தின் ஆய்லரின் தேற்றம்

இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் $ABCD$. $ABED$ ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு $E$ புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:

$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}\qquad \qquad (1)$

நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத $C$ புள்ளிக்கும் $E$ புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட $|CE|$ தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.

$AC$ இன் நடுப்புள்ளி $M$ எனில்:

${\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2\qquad \qquad (2)$.

$AE$, $BD$ இரண்டும் $ABED$ இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் $BD$ இன் நடுப்புள்ளி $N$ ஆனது $AE$ இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:

${\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2\qquad \qquad (3)$

2, 3 இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:

${\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}$.

எனவே இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி:

$CE$, $NM$ இரண்டும் இணை மற்றும் $|CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}$.

$|CE|^{2}=4|NM|^{2}$ என 1 இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:

$|AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4|NM|^{2}$ (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று)

மேற்கோள்கள்

• Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy: The Edge of the Universe: Celebrating Ten Years of Math Horizons. MAA, 2006, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883855553, pp. 137–139
• Lokenath Debnath: The Legacy of Leonhard Euler: A Tricentennial Tribute. World Scientific, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781848165267, pp. 105–107
• C. Edward Sandifer: How Euler Did It. MAA, 2007, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883855638, pp. 33–36
• Geoffrey A. Kandall: Euler's Theorem for Generalized Quadrilaterals. The College Mathematics Journal, Vol. 33, No. 5 (Nov., 2002), pp. 403–404 (JSTOR)
• Dietmar Herrmann: Die antike Mathematik: Eine Geschichte der griechischen Mathematik, ihrer Probleme und Lösungen. Springer, 2013, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9783642376122, p. 418

வெளியிணைப்புகள்

விக்கிமீடியா பொதுவகத்தில்,
Euler's theorem for quadrilaterals
என்பதில் ஊடகங்கள் உள்ளன.

• Weisstein, Eric W., "Quadrilateral", MathWorld.