இடைவெட்டுத் தேற்றம்

இடைவெட்டுத் தேற்றம் (intercept theorem) என்பது வடிவவியலில் இரண்டு வெட்டிக்கொள்ளும் கோடுகளை ஒரு சோடி இணைகோடுகள் வெட்டுவதால் உண்டாகும் கோட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களைப் பற்றிக்கூறும் முக்கியமானதொரு தேற்றம். இத்தேற்றம் கிரேக்க கணிதவியலாளர் தேலேசுவின் கண்டுபிடிப்பாக கருதப்பட்ட மரபினால், தேலேசுத் தேற்றம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது ஆனால் மற்றொரு தேலேசுத் தேற்றத்துடன் இதனை குழப்பிக் கொள்ளல் கூடாது. இது வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பக்க விகிதங்கள் குறித்த தேற்றத்துக்குச் சமானமானது.

தேற்றம்

தரப்பட்ட இரு கோடுகள் வெட்டிக்கொள்ளும் புள்ளி S. இரு இணைகோடுகள், தரப்பட்ட முதல்கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் A, B (A -ஐ விட B புள்ளி– S லிருந்து தள்ளி உள்ளவாறு) மற்றும் தரப்பட்ட இரண்டாவது கோட்டை வெட்டும் புள்ளிகள் C, D (C -ஐ விட புள்ளி D, S லிருந்து தொலைவில் இருக்குமாறு).

1. முதல் கோட்டின் ஏதாவது இரு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் அவற்றுக்கு ஒத்த இரண்டாவது கோட்டின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருக்கும்:

|SA|:|AB|=|SC|:|CD|

,

|SB|:|AB|=|SD|:|CD|

,

|SA|:|SB|=|SC|:|SD|

2. S லிருந்து ஆரம்பிக்கும் ஒரே கோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இணைகோடுகளின் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம்:

$|SA|:|SB|=|SC|:|SD|=|AC|:|BD|$

3. முதல் கூற்றின் மறுதலையும் உண்மை.

இரு வெட்டும் கோடுகளை ஏதாவது வேறு இருகோடுகள் வெட்டும்போது ஒரு கோட்டில் ஏற்படும் வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்கள் இரண்டாவது கோட்டில் அவற்றுக்கொத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதங்களுக்குச் சமமாக இருந்தால்:

|SA|:|AB|=|SC|:|CD|

தரப்பட்ட கோடுகளை வெட்டும் இருகோடுகளும் ஒன்றுக்கொன்று இணையானவை.

இரண்டாவது கூற்றின் மறுதலை உண்மையில்லை.

4. இரண்டுக்கும் மேற்பட்ட கோடுகள் S -ல் வெட்டிக்கொண்டால் ஒரு இணைகோட்டின் இரண்டு வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதம் இரண்டாவது இணைகோட்டின் ஒத்த வெட்டுத்துண்டுகளின் விகிதத்திற்குச் சமம். படத்தில் மூன்று கோடுகள் சந்திக்கும் எடுத்துக்காட்டு தரப்பட்டுள்ளது.

நிறுவல்

கூற்று 1

$CA\parallel BD$ ) $\|\triangle CDA\|=\|\triangle CBA\|$ .(இரு முக்கோணங்களின் உயரங்கள் சமம்) ஃ $\|\triangle SCB\|=\|\triangle SDA\|$ . இதிலிருந்து, ${\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle CDA\|}}={\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle CBA\|}}$ ; ${\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle SDA\|}}={\frac {\|\triangle SCA\|}{\|\triangle SCB\|}}$ முக்கோணங்களின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு பயன்படுத்த: ( ${\frac {baseline\cdot height}{2}}$ ) ${\frac {\|SC\|\|AF\|}{\|CD\|\|AF\|}}={\frac {\|SA\|\|EC\|}{\|AB\|\|EC\|}}$ ${\frac {\|SC\|\|AF\|}{\|SD\|\|AF\|}}={\frac {\|SA\|\|EC\|}{\|SB\|\|EC\|}}$ பொதுக்காரணிகளை நீக்க: (a) $\,{\frac {\|SC\|}{\|CD\|}}={\frac {\|SA\|}{\|AB\|}}$ . (b) $\,{\frac {\|SC\|}{\|SD\|}}={\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}$ (b) லிருந்து $\|SA\|$ , $\|SC\|$ மதிப்புகளை (a) -ல் பதிலிட: ${\frac {\frac {\|SA\|\|SD\|}{\|SB\|}}{\|CD\|}}={\frac {\frac {\|SB\|\|SC\|}{\|SD\|}}{\|AB\|}}$ மறுபடியும் (b) பயன்படுத்திச் சுருக்க: c) $\,{\frac {\|SD\|}{\|CD\|}}={\frac {\|SB\|}{\|AB\|}}$ $\,\square$

கூற்று 2

$SD$ -க்கு A வழியாக மற்றுமொரு இணைகோடு வரைக. இந்த இணைகோடு $BD$ -ஐ வெட்டும் புள்ளி G. $\|AC\|=\|DG\|$ . ${\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}={\frac {\|DG\|}{\|BD\|}}$ ..............கூற்று 1 ஃ ${\frac {\|SA\|}{\|SB\|}}={\frac {\|AC\|}{\|BD\|}}$ $\square$

கூற்று 3

$AC$ , $BD$ இரண்டும் இணை இல்லை என எடுத்துக் கொள்க. $AC$ -க்கு $D$ வழியாக வரையப்படும் இணைகோடு, $SA$ -ஐ வெட்டும் புள்ளி $B_{0}\neq B$ . $\|SB\|:\|SA\|=\|SD\|:\|SC\|$ என்பது உண்மை என்பதால் $\|SB\|={\frac {\|SD\|\|SA\|}{\|SC\|}}$ மேலும் கூற்று 2 -ன் படி $\|SB_{0}\|={\frac {\|SD\|\|SA\|}{\|SC\|}}$ . எனவே , $\ B,$ $\ B_{0}$ இரண்டும் $S$ -க்கு ஒரே பக்கத்தில், ஒரேயளவு தூரத்தில் அமையும். ஃ $\ B=B_{0}$ . இது ஒரு முரண்பாடு. எனவே நாம் $AC$ மற்றும் $BD$ இரண்டும் இணை அல்ல என எடுத்துக்கொண்டது தவறு. அவை இணையாகத்தான் இருக்க முடியும். $\square$

கூற்று 4

இரு கோடுகளுக்கான வெட்டுத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இதை நிறுவலாம்..

தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்

வடிவொப்புமையும் வடிவொத்த முக்கோணங்களும்

இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தும் வகையில் இரு வடிவொத்த முக்கோணங்களை வரிசைப்படுத்தி அமைத்தல்

வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் வடிவொப்புமையோடு நெருங்கிய தொடர்புடையது; வடிவொத்த முக்கோணங்களின் கருத்துருவுக்குச் சமானமானது. இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வடிவொத்த முக்கோணங்களின் பண்புகளையும்; வடிவொத்த முக்கோணங்களைப் பயன்படுத்தி இடைவெட்டுத் தேற்றத்தையும் நிறுவ முடியும். சமமான கோணங்களைப் பொருத்தி இரண்டு வடிவத்த முக்கோணங்களை ஒன்றுக்குள் ஒன்றாக அமைப்பதன் மூலம் இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பைப் பெறமுடியும். மாறாக வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றத்தின் வடிவமைப்பிலேயே இரண்டு வடிவொத்த முக்கோணங்கள் உள்ளன.

திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல்

நெறிம திசையன் வெளியில் திசையிலிப் பெருக்கல் சம்பத்தப்பட்ட அடிக்கோள்கள் (குறிப்பாக):

$\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})=\lambda \cdot {\vec {a}}+\lambda \cdot {\vec {b}}$

$\|\lambda {\vec {a}}\|=|\lambda |\cdot \ \|{\vec {a}}\|$ )

இரண்டும் வெட்டுத்துண்டுத் தேற்றம் உண்மை என்பதை உறுதிப் படுத்துகின்றன.

அதாவது, இந்த அடிக்கோள்களின் பலனாக மேலேயுள்ள படத்திலிருந்து நமக்குக் கிடைக்கும் முடிவு:

${\frac {\|\lambda \cdot {\vec {a}}\|}{\|{\vec {a}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot {\vec {b}}\|}{\|{\vec {b}}\|}}={\frac {\|\lambda \cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})\|}{\|{\vec {a}}+{\vec {b}}\|}}=|\lambda |$

பயன்பாடுகள்

வரைகோல் மற்றும் கவராய வரைமுறைகளுக்கு இயற்கணித வடிவமைப்புகள்

வரைகோல் மற்றும் கவராயம் மூலம் தீர்வு காண வேண்டிய பிரலபமான புகழ்பெற்ற மூன்று பிரச்சனைகள கிரேக்கர்கள் முன்வைத்திருந்தனர்.

கோணத்தை முக்கூறிடல்
கனசதுரத்தை இரட்டிப்பாக்கல்
வட்டத்தை சதுரமாக்கல்

2000 ஆண்டு காலங்களாக தீர்வு காணப்படாமல் இருந்த இம்மூன்று வினாக்களுக்கும் 19 ம் நூற்றாண்டில் இயற்கணித முறையில் தீர்வு காணப்பட்டது. இவ்வினாக்களை இயற்கணித வடிவிற்கு மாற்றுவதற்கு வரைகோல் மற்றும் கவராய முறைச்செயல்களுக்குப் பதில் பொருத்தமான களச்செயல்களைக் கள நீட்டிப்பு முறையில் காண வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டது. குறிப்பாக தரப்பட்ட இரு கோட்டுத்துண்டுகளின் நீளங்களின் பெருக்குத்தொகைக்குச் சமநீளமுள்ள இரு புதிய கோட்டுத்துண்டு வரையமுடியும் என்பதை உறுதிப்படுத்த வேண்டிய அவசியம் உருவானது. மேலும் $d,$ அளவு நீளமுள்ள ஒரு தரப்பட்டக் கோட்டுத்துண்டிற்கு, $d^{-1}$ அளவு நீளமுள்ள புதிய கோட்டுத்துண்டு வரைய வேண்டியதும் அவசியமாயிற்று. இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைக் கொண்டு இவ்விரண்டு வரைமுறைகளும் சாத்தியமானவை என்பதைக் காட்ட முடியும்.

பெருக்குத்தொகைக்கு வரைதல்	தலைகீழிக்கு வரைதல்

ஒரு கோட்டுத்துண்டைத் தரப்பட்ட விகிதத்தில் பிரித்தல்

தரப்பட்ட கோட்டுத்துண்டு ${\overline {AB}}$ -ஐ $m:n$ விகிதத்தில் பிரிக்க: ${\overline {AB}}$ -ஐ ஒரு பக்கமாகக் கொண்டு கோணம் A வரைதல் வேண்டும். கோணத்தின் மற்றொரு பக்கத்தில் $m+n$ சமதூரப் புள்ளிகளைக் குறிக்க வேண்டும். இப்புள்ளிகளில் கடைசிப்புள்ளி மற்றும் B இரண்டையும் இணைத்து கோடு வரைதல் வேண்டும். இக்கோட்டிற்கு இணையாக mth புள்ளி வழியாக ஒரு கோடு வரைதல் வேண்டும். இந்த இணைகோடு, கோட்டுத்துண்டு ${\overline {AB}}$ -ஐ $m:n$ விகிதத்தில் பிரிக்கும். * படத்தில் ${\overline {AB}}$ கோட்டுத்துண்டு $5:3$ விகிதத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது..

அளவிடுதல்

சியோப்ஸ் பிரமிடின் உயரம்

தனித்தனியாக அளவுகளைக் காணல்

C மற்றும் D -கணக்கிடல்

சில வரலாற்று ஆதாரங்களிலிருந்து கிரேக்க கணிதவியலாளர் தேலேசு, சியோப்சின் பிரமிடின்(Cheops' pyramid) உயரம் கணக்கிட இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியதாகத் தெரியவருகிறது.^[1] பின் வரும் விளக்கம், சியோப்சின் பிரமிடின் உயரத்தைக் கணக்கிட எவ்வாறு இடைவெட்டுத் தேற்றம் பயன்படுத்தப்பட்டது என்பதை விளக்குகிறது. எனினும் இது தொலைந்து போனதாகக் கருதப்படும் அவரது மூலப் படைப்பு அல்ல.

அவர் முதலில் பிரமிடின் அடியின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் உயரத்தையும் அளந்து கொண்டார். பின் அதே நாளில் அதே நேரத்தில் பிரமிடின் நிழலின் நீளத்தையும் கம்பத்தின் நிழலின் நீளத்தையும் அளந்து கொண்டார்.

அவரது கணக்கீட்டிற்கு பின்வரும் தரவுகள் கிடைத்தன:

கம்பத்தின் உயரம் (A): 1.63m
கம்பத்தின் நிழலின் நீளம் (B): 2m
பிரமிடின் அடிநீளம்: 230m
பிரமிடின் நிழலின் நீளம்: 65m

இதிலிருந்து:

C=65m+{\frac {230m}{2}}=180m

எனக் கணக்கிட்டார்.

A,B , C மதிப்புகள் தெரிந்ததால் இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, அவர் கணக்கிட்டது:

D={\frac {C\cdot A}{B}}={\frac {1.63m\cdot 180m}{2m}}=146.7m

ஆற்றின் அகலத்தைக் கணக்கிடல்

நேரிடையாக அளக்கமுடியாத நீளங்களைக் கணக்கிட இடைவெட்டுத் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஆறுஅல்லது ஏரிகளின் அகலம் காண்பது, உயரமான கட்டிடங்களின் உயரம் காணல் போன்றவை. படத்தில் ஒரு ஆற்றின் அகலத்தைக் கணக்கிடும் முறை தரப்பட்டுள்ளது. வெட்டுத்துண்டுகள் $\|CF\|$ , $\|CA\|$ , $\|FE\|$ அளக்கப்பட்டு தேவையான அகலத்தைக் கணக்கிடப் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது. ஆற்றின் அகலம்: $\|AB\|={\frac {\|AC\|\|FE\|}{\|FC\|}}$ .

முக்கோணம் மற்றும் சரிவகங்களில் இணைகோடுகள்

முக்கோணத்தின் இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைத்து வரையப்படும் கோடு மூன்றாவது பக்கத்திற்கு இணையாக அமையும்.	சரிவகத்தின் இணையில்லாத இரு பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோடு சரிவகத்தின் மற்ற இரு இணைபக்கங்களுக்கு இணையாக அமையும்.

குறிப்பு

↑ No original work of Thales has survived. All historical sources that attribute the intercept theorem or related knowledge to him were written centuries after his death. Diogenes Laertius and Pliny give a description that strictly speaking does not require the intercept theorem, but can rely on a simple observation only, namely that at a certain point of the day the length of an object's shadow will match its height. Laertius quotes a statement of the philosopher Hieronymus about Thales: "Hieronymus says that [Thales] even succeeded in measuring the pyramids by observation of the length of their shadow at the moment when our shadows are equal to our own height.". Pliny writes: "Thales discovered how to obtain the height of pyramids and all other similar objects, namely, by measuring the shadow of the object at the time when a body and its shadow are equal in length.". However Plutarch gives an account, that may suggest Thales knowing the intercept theorem or at least a special case of it:".. without trouble or the assistance of any instrument [he] merely set up a stick at the extremity of the shadow cast by the pyramid and, having thus made two triangles by the impact of the sun's rays, ... showed that the pyramid has to the stick the same ratio which the shadow [of the pyramid] has to the shadow [of the stick]". (Source: Thales biography of the MacTutor).

மேற்கோள்கள்

Schupp, H. (1977). Elementargeometrie. UTB Schöningh. p. 124. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3506991892. (டா)

Leppig, Manfred (1981). Lernstufen Mathematik. Girardet. pp. 157–170. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3773620055. (டா)

Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). Elementary Geometry. AMS. p. 16. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0821843478. (online copy, p. 16, கூகுள் புத்தகங்களில்)
Stillwell, John (2005). The Four Pillars of Geometry. Springer. p. 34. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780387255309. (online copy, p. 34, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளி இணைப்புகள்

Intercept Theorem பரணிடப்பட்டது 2012-03-30 at the வந்தவழி இயந்திரம் at PlanetMath
Intercept theorem at mathsrevision.net பரணிடப்பட்டது 2011-10-01 at the வந்தவழி இயந்திரம்
Java-Applet illustrating the intercept theorem பரணிடப்பட்டது 2013-05-25 at the வந்தவழி இயந்திரம்

[mactutor-1] No original work of Thales has survived. All historical sources that attribute the intercept theorem or related knowledge to him were written centuries after his death. Diogenes Laertius and Pliny give a description that strictly speaking does not require the intercept theorem, but can rely on a simple observation only, namely that at a certain point of the day the length of an object's shadow will match its height. Laertius quotes a statement of the philosopher Hieronymus about Thales: "Hieronymus says that [Thales] even succeeded in measuring the pyramids by observation of the length of their shadow at the moment when our shadows are equal to our own height.". Pliny writes: "Thales discovered how to obtain the height of pyramids and all other similar objects, namely, by measuring the shadow of the object at the time when a body and its shadow are equal in length.". However Plutarch gives an account, that may suggest Thales knowing the intercept theorem or at least a special case of it:".. without trouble or the assistance of any instrument [he] merely set up a stick at the extremity of the shadow cast by the pyramid and, having thus made two triangles by the impact of the sun's rays, ... showed that the pyramid has to the stick the same ratio which the shadow [of the pyramid] has to the shadow [of the stick]". (Source: Thales biography of the MacTutor).

[1]