ஆய்லரின் முற்றொருமை

கணிதத்தில் ஆய்லரின் முற்றொருமை (Euler's identity)

N முடிவிலியை நெருங்கும்போது கிடைக்கும் (1 + z/N)^Nஇன் எல்லை மதிப்பாக, e^zஐ வரையறுக்கலாம். எனவே (1 +iπ/N)^N இன் எல்லை மதிப்பாக e^iπ அமைகிறது. இந்த அசைப்படத்தில், 1 முதல் 100 வரையிலான பல கூடும் மதிப்புகளை N ஏற்கும்போது, (1 + iπ/N)^N இன் கணக்கீடு காட்டப்படுகிறது.N இன் மதிப்பு அதிகரிக்க அதிகரிக்க, (1 +iπ/N)^N இன் மதிப்பு −1 ஐ நெருங்குவதைக் காணலாம்.

$e^{i\pi }+1=0$ எனும் சமன்பாடு ஆகும்.

இதில்:

e என்பது ஆய்லர் மாறிலி; இயல் மடக்கையின் அடிமானம்,

i என்பது கற்பனை அலகு; i² = −1, and

π என்பது ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் அதன் விட்டத்துக்குமான விகிதம்.

கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் பெயரால் இம் முற்றொருமை ”ஆய்லரின் முற்றொருமை” என அழைக்கப்படுகிறது. இம் முற்றொருமை, ஆய்லரின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

விளக்கம்

ஒரு பொதுக் கோணத்திற்கான ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

சிக்கலெண் தளத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டின் சிறப்பு வகையாகவே ஆய்லரின் முற்றொருமை அமைகிறது.

ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு

x ஏதேனுமொரு மெய்யெண் எனில்:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\,\!$

இங்கு முக்கோணவியல் சார்புகளான sine , cosine இரண்டும் ரேடியனில் தரப்படுகின்றன.

x = π எனும்போது ஆய்லரின் வாய்ப்பாடு ஆய்லரின் முற்றொருமையாகிறது.

x = π என ஆய்லரின் வாய்ப்பாட்டில் பிரதியிட,

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .\,\!$

மேலும் $\cos \pi =-1,\sin \pi =0\,\!$ என்பதால்,

$e^{i\pi }=-1+0i\,\!$

$e^{i\pi }=-1\,\!$

$e^{i\pi }+1=0.\,\!$ (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

சிறப்புகள்

• அடிப்படைக் கணிதச் செயல்களான கூட்டல், பெருக்கல், அடுக்கேற்றம் ஆகிய மூன்று செயல்களும் இம் முற்றொருமையில் ஒவ்வொன்றும் ஒரேயொரு முறை காணப்படுகின்றன.
• ஐந்து அடிப்படைக் கணித மாறிலிகளை இணைக்கிறது:
  • கூட்டல் சமனியான எண் 0.
  • பெருக்கல் சமனியான எண் 1.
  • ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவுக்கும் விட்டத்துக்குமான விகிதமாக அமையும் π (π = 3.14159265...)
  • இயற்மடக்கையின் அடிமானமான e (e = 2.718281828...).
  • கற்பனை அலகு i
• கணித எழுத்தாளர் கான்ஸ்டன்ஸ் ரீட் (Constance Reid), ஆய்லரின் முற்றொருமையை “கணிதத்திலேயே மிக அதிகமாகப் புகழ்பெற்ற வாய்ப்பாடு” என்று கூறியுள்ளார்.
• 1990 இல் தி மேத்தமெட்டிகல் இண்டெலிஜென்சர் (The Mathematical Intelligencer) நடத்திய வாக்கெடுப்பில் ஆய்லரின் முற்றொருமை, "கணிதத்தின் மிக அழகிய தேற்றம்" என்ற பெயர் பெற்றது.
• பிசிக்கிஸ் வொர்ல்டு 2004 இல், வாசகர்களிடையே நடத்திய வாக்கெடுப்பில் மின்காந்தவியலின் மாக்சுவெல்லின் சமன்பாடுகள், ஆய்லரின் முற்றொருமை இரண்டும் சமமாக "எப்பொழுதும் மீப்பெரு சமன்பாடு" என்ற பட்டத்தைப் பெற்றன.

பொதுமைப்படுத்தல்

எண் 1 இன் nஆம் மூலங்களின் கூடுதல் சுழி (n > 1) என்ற முற்றொருமையின் சிறப்புவகையாகவும் ஆய்லரின் முற்றொருமை உள்ளது:

$\sum _{k=0}^{n-1}e^{2\pi ik/n}=0.$

இதில் n = 2 எனப் பதிலிட்டால் ஆய்லரின் முற்றொருமை கிடைக்கிறது:

n = 2 எனப் பதிலிட,

$\sum _{k=0}^{1}e^{\pi ik}=0$

$\Rightarrow e^{0}+e^{\pi i}=0$

$\Rightarrow 1+e^{\pi i}=0$ (ஆய்லரின் முற்றொருமை)

வரலாறு

1748 இல் வெளியிடப்பட்ட ஆய்லரின் Introductio in analysin infinitorum என்ற அவரது புத்தகத்தில் இந்த முற்றொருமை காணப்பட்டதாகக் கூறப்பட்டது. எனினும் அவர் இது குறித்து எதுவும் தெரிவிக்காததால் அம்முற்றொருமையைக் கண்டுபிடித்தது ஆய்லர்தானா என்பதும் கேள்விக்குரியதாகிறது. (மேலும் ஆய்லர் தனது புத்தகத்தில் (Introductio) குறிப்பிட்டது e, கொசைன் , சைன் ஆகிய மூன்றையும் சிக்கலெண் தளத்தில் தொடர்புபடுத்தும் ஆய்லரின் வாய்ப்பாடாகும். ரோஜர் கோட்சு என்ற ஆங்கிலக் கணிதவியலாளரும் இவ் வாய்ப்பாட்டினை அறிந்திருந்தார். ஆய்லர் இதனைத் தனது சக சுவிஸ் கணிதவியலாளர் ஜோகன் பெர்னௌலி வாயிலாக அறிந்திருக்கக் கூடும் என்ற கருத்தும் உள்ளது.)

மூலங்கள்

• Conway, John Horton, and Guy, Richard (1996). The Book of Numbers (Springer, 1996). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-97993-9.
• Crease, Robert P., "The greatest equations ever", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).
• Crease, Robert P. "Equations as icons," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).
• Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-88385-328-3.
• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New York: Penguin, 2004).
• Euler, Leonhard. Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus (Leipzig: B. G. Teubneri, 1922).
• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Simon & Schuster, 1940).
• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-691-05854-7
• Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-691-11822-2
• Paulos, John Allen, Beyond Numeracy: An Uncommon Dictionary of Mathematics (Penguin Books, 1992). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-14-014574-5
• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Thomas Crowell, 1955).
• Sandifer, C. Edward. Euler's Greatest Hits (Mathematical Association of America, 2007). பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-88385-563-8

வெளி இணைப்புகள்

• Complete derivation of Euler's identity
• Intuitive understanding of Euler's formula