இசுடர்லிங் சுழல் எண்

கணிதத்தில் ஸ்டர்லிங் எண் என்பது இரண்டு வகையாகப் புழங்குகிறது. அவைகளில் ஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் அல்லது இசுடர்லிங் சுழல் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-வரிசைமாற்றங்கள் k சுழல்களாலானவை என்ற எண்தான் இது. இதற்குக் குறியீடு s(n,k) என்றோ அல்லது ${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}$ என்றோ பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\begin{bmatrix}4\\3\end{bmatrix}}$ = 6

ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் மூன்றுசுழற்பிரிவுகள்:

a/b/cd; a/c/bd; a/d/bc; b/c/ad; b/d/ac; c/d/ab

இவ்வெண்களின் முதல் சில மதிப்புகளின் அட்டவணையை ஸ்டர்லிங் எண்கள் என்ற கட்டுரையில் பார்க்கவும்.

மீள்வரு தொடர்பு

n > 0 என்றால்,

${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}=(n-1){\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}}$

n பொருள்களை k சுழல்கள் உள்ள திரிபுகளாகச்செய்யும் செயலில், முதல் பட்சமாக $x_{0}$ என்ற ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளை ஒற்றை உறுப்புச்சுழலாக வைத்திருக்கலாம். இப்பட்சம் ${\begin{bmatrix}n-1\\k-1\end{bmatrix}}$ வழிகளில் ஏற்படக்கூடியது.

இரண்டாவது பட்சமாக $x_{0}$ மற்ற ஏதாவதொரு சுழலில் ஓருறுப்பாக இருக்கவேண்டும். மற்ற சுழல்களின் எண்ணிக்கை ${\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}}$. இவைகளில் $x_{0}$ ஓருறுப்பாக இருக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கையைக் கணிப்பதற்கு முதலில் நாம் குறிப்பாக எடுத்துக் கொள்ளவேண்டியது, ஒரு r-சுழலில் ஒரு புது உறுப்பை r வழிகளில் சேர்க்கலாம் என்பதுதான். k சுழல்களில் எதுவும் இந்த $x_{0}$ ஐ ஏற்றுக்கொள்ளலாம்.இச்சுழல்களின் நீளங்கள் $r_{1},r_{2},...,r_{k}$ ஆக வெவ்வேறாக இருந்தாலும் $r_{1}+r_{2}+...+r_{k}=n-1$ என்பது நிச்சயம். அதனால் $x_{0}$ ஐ ${\begin{bmatrix}n-1\\k\end{bmatrix}}$ சுழல்களில் ஏதாவதொரு சுழலில் சேர்ப்பதற்கு (n-1) வழிகள் உள்ளன.

இவ்விரண்டு பட்சங்களின் உருவகம் தான் மீள்வரு தொடர்பு (Recurrence Relation)

ஏறுமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

(*): $x(x+1)(x+2)...(x+n-1)=\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}$.

இதனுடைய நிறுவல் உய்த்தறிதல் (Induction) முறையில் செய்யப்படுகிறது. முதலில் ஒரு குறியீடு.

$[x]^{k}=x(x+1)(x+2)...(x+k-1)$

$[x]^{1}=x$

$[x]^{2}=x(x+1)={\begin{bmatrix}2\\2\end{bmatrix}}x^{2}+{\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}}x$

இவை உய்த்தறிதல் முறையின் முதல் படிகள். k-ஆம் படியிலிருந்து k+1- ஆம் படிக்குச்செல்வதற்கு, நாம்

$(x+n-1)x^{k}=x^{k+1}+(n-1)x^{k}$

யை பயன்படுத்தவேண்டியிருக்கும்.

இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவு

(*) இல் x ஐ (-x) ஆக மாற்றினால், கிடைப்பது:

n > 0 ஆக இருக்குமானால்,

(*): $x(x-1)(x-2)...(x-n+1)=\sum _{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}(-1)^{n-k}x^{k}$

இவற்றையும் பார்க்கவும்

ஸ்டர்லிங் உட்கண எண்