இசுட்டெர்லிங் எண்கள்
கணிதத்தில் இசுடர்லிங் எண்கள் (Sterling numbers) இருவகைப்படும். ஒரு n-கணத்தை எத்தனை விதமாகச் சுழல்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும்,எத்தனை விதமாக உட்கணங்களாகப் பிரித்துக் காட்டலாம் என்ற பிரச்சினையை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்களாலும் ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. ஜேம்ஸ் ஸ்டர்லிங் (1692 - 1770) என்ற ஸ்காட்லாந்து நாட்டுக் கணிதவியலர் 1730 இல் தன்னுடைய நூலில் இவைகளை அறிமுகப்படுத்தினார். ஆய்லர் எண்கள், ஈருறுப்புக் கெழுக்கள், பெல் எண்கள் -- இவைகளுடன் ஸ்டர்லிங் எண்கள் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டவை.[1][2][3]
முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்
தொகுஒரு n-கணத்தை k சுழல்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும்.அதாவது எத்தனை n-திரிபுகள் k சுழல்களாலானவை என்ற கேள்விக்கும் இதே எண்ணிக்கைதான் விடை. இதற்கு ஒரு குறியீடு s(n,k). இக்கட்டுரையில் என்ற குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம்.இதை n-cycle-k என்றோ n-சுழல்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம். 1930 இல் காராமாடா என்பவரால் இக்குறியீடு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டு தற்காலத்தில் பரவலாக எங்கும் புழக்கத்திலுள்ளது.
எடுத்துக்காட்டாக, = 11
ஏனென்றால், {a,b,c,d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இருசுழற்பிரிவுகள்:
- a/bcd; a/bdc; b/cda; b/cad; c/dab; c/dba; d/abc; d/acb; ab/cd; ac/db; ad/bc
அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் சுழல் எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
முதல்வகை எண்அட்டவணை
தொகு
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | ||||||
2 | 1 | 1 | |||||
3 | 2 | 3 | 1 | ||||
4 | 6 | 11 | 6 | 1 | |||
5 | 24 | 50 | 35 | 10 | 1 | ||
6 | 120 | 274 | 225 | 85 | 15 | 1 | |
7 | 720 | 1764 | 1624 | 735 | 175 | 21 | 1 |
இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண்கள்
தொகுஒரு n-கணத்தை k உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய வழிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் எனப் பெயர் பெறும். இதற்கு ஒரு குறியீடு S(n,k). இக்கட்டுரையில் என்ற் குறியீட்டைப் பயன்படுத்துவோம். இதை n-subset-k என்றோ n-உட்கணம்-k என்றோ உச்சரிக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, = 7
ஏனென்றால், {a, b, c, d} போன்ற ஒரு 4-கணத்தின் இரு-உட்கணப்பிரிவுகள்:
- {a}/{b,c,d}; {b}/{c,d,a}; {c}{d,a,b}; {d}{a,b,c}; {a,b}/{c,d}; {a,c}/{b,d}; {a,d}/{b,c}.
அண்மைக்காலத்தில் இவ்வெண் ஸ்டர்லிங் உட்கண எண் என்ற பெயராலும் குறிக்கப்பட்டு வருகிறது.
இரண்டாவது வகை எண் அட்டவணை
தொகு
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 1 | ||||||
2 | 1 | 1 | |||||
3 | 1 | 3 | 1 | ||||
4 | 1 | 7 | 6 | 1 | |||
5 | 1 | 15 | 25 | 10 | 1 | ||
6 | 1 | 31 | 90 | 65 | 15 | 1 | |
7 | 1 | 63 | 301 | 350 | 140 | 21 | 1 |
சில எளிதான பொதுவிளைவுகள்
தொகு- ஆக இருந்தால் = .
- ஆக இருந்தால் =
- = = 1
- = =
செங்குத்துத்தன்மை உறவுகள்
தொகுமுதல் வகை, இரண்டாவது வகை ஆகிய இரண்டு ஸ்டர்லிங் எண்களுக்கும், இறங்குமுகக் காரணியத்துடன் உறவுகள் உள்ளன. முதல்வகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,
- (*) .
இரண்டாவதுவகை ஸ்டர்லிங் எண்ணில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள உறவிலிருந்து,
- (**)
(*)ஐ (**) இல் பொருத்தினால் நமக்குக் கிடைப்பது:
=
ஆனால் பல்லுறுப்புகளெல்லாம் சேர்வியல் சார்பற்றவை.
- ஃ (செ.உ.1): . இங்கு .
மாற்றாக, (**)ஐ (*) இல் பொருத்தி, பல்லுறுப்புகள் x(x-1)(x-2)...(x-n+1) சேர்வியல் சார்பற்றவை என்பதைப் பயன்படுத்தினால், நமக்குக்கிடைப்பது, இதற்கு இணையான் இன்னொரு செங்குத்துத்தன்மை உறவு (Orthogonality Relation):
- ஃ (செ.உ.2):
ஸ்டர்லிங் எண்களைப்பற்றிய மற்ற தேற்றங்களையும் மீள்வரு தொடர்புகளையும் முதல் வகை ஸ்டர்லிங் எண், இரண்டாவது வகை ஸ்டர்லிங் எண் என்ற தனிக்கட்டுரைகளில் பார்க்கவும்.
மேற்கோள்கள்
தொகு- ↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-201-14236-8, p. 244.
- ↑ Knuth, Donald E. (1992). "Two Notes on Notation". American Mathematical Monthly 99 (5): 403–422. doi:10.2307/2325085. https://www.jstor.org/stable/2325085.
- ↑ Aigner, Martin (2007). "Section 1.2 - Subsets and binomial coefficients". A Course in Enumeration. Springer. pp. 561. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-540-39032-9.