உறுப்பு (கணிதம்)

கணிதத்தில் உறுப்பு (element) என்பது ஒரு கணத்தை உருவாக்கும் உருவாக்கும் வெவ்வேறான கணிதப் பொருள்களுள் ஒன்றாகும்.

சில கணங்களின் உறுப்புகளைச் சொற்களால் விரித்துரைக்க முடியும். எடுத்துக்காட்டாக:

A என்பது முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

B என்பது இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட ஒரு கணம்.

அதைப் பின்வருமாறு சுருக்கமாகக் குறிக்கலாம்.

A = {4, 2, 1, 3}

B = {காவி, வெள்ளை, பச்சை, நீலம்}

ஒரு பொருள் ஒரு கணத்தினுள் உள்ள ஓர் உறுப்பு என்றோ அல்லது ஓர் உறுப்பு அல்ல என்றோ குறிக்கக் கீழ்க்காணும் குறிவடிவுகளை முறையே பயன்படுத்தப்படுகிறது:

$\in$ , $\notin$.

எடுத்தக்காட்டாக, மேலே A என்னும் கணத்தைப் பார்த்தால் அதில் 4 என்பது A யில் உள்ள ஓர் உறுப்பு என அறியலாம். எனவே அதனைக் கீழ் காணுமாறு குறிக்கப்படுகிறது:

• $4\in A$

ஆனால் ஒரு பொருள் உறுப்பு அல்ல என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு குறிக்கப்படும்:

• $9\notin A$

கணங்கள்

A = {1, 2, 3, 4} என்பதிலிருந்து கணம் A யின் உறுப்புகளாக 1, 2, 3 and 4 ஆகிய எண்கள் உள்ளன என அறியலாம்.

{1, 2} போன்ற A இன் உறுப்புகளாலான கணங்கள் A இன் உட்கணங்கள் எனப்படும். ஒரு கணத்தின் உறுப்புகளாக கணங்களே அமையலாம். எடுத்துக்காட்டாக ஒரு கணத்தின் அடுக்கு கணத்தின் உறுப்புகள் அனைத்துமே மூல கணத்தின் உட்கணங்களாக இருக்கும்.

$C$ = {x, y, z} இன் அடுக்கு கணம்:

${\mathcal {P}}(C$) =$\left\{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\right\}\,\!.$

குறியீடும் சொல்லியலும்

"இன் ஓர் உறுப்பு", அல்லது இல் உள்ளது என்ற ஈருறுப்பு உறவின் குறியீடு  "∈" ஆகும்.

இக்குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி "x ஆனது  A இன் ஓர் உறுப்பு" அல்லது "x ஆனது  A இல் உள்ளது" என்ற கூற்றானது பின்வருமாறு எழுதப்படுகிறது:

$x\in A$

ஒருசில கணித நூலாசிரியர்கள் "A , x ஐ உள்ளடக்கியுள்ளது" and "A , x ஐக் கொண்டுள்ளது" என்ற கூற்றுகளை ஒரு கணத்தின் உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தினாலும் வேறு சிலர் இவற்றை உட்கணங்களுக்கு உரியவையாகக் கருதுகின்றனர். தருக்கவியலாளர் ஜார்ஜ் பூலோசு என்பவர் "கொண்டுள்ளது" என்பதை உறுப்புகளுக்கும் "உள்ளடக்கியுள்ளது" என்பதை உட்கணங்களுக்கும் பயன்படுத்த வேண்டுமென வலியுறுத்துகிறார்.

"A , x ஐக் கொண்டுள்ளது" என்பதைக் கீழ்வருமாறு குறிக்கலாம்.

$A\ni x,$

இக்குறியீடு பெரும்பாலும் நடைமுறையில் கையாளப்படுவதில்லை.

"x , A இன் உறுப்பல்ல". என்ற எதிர்மறைக் கூற்றுக் கீழுள்ளவாறு குறியீட்டில் ( "∉") எழுதப்படுகிறது:

$x\notin A$

$\in$ என்பது, கிரேக்க எழுத்து எச்சைலன் ("ε") இன் சிற்றெழுத்து வடிவமாக அமைந்துள்ளது.

கணங்களின் எண்ணளவை

முதன்மைக் கட்டுரை: எண்ணளவை

ஒரு கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையானது அக்கணத்தின் ”எண்ணளவை” எனப்படுகிறது. மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டு கணங்களில்

 |A| =  4

 |B| =  3

 |C| =  3

இவை முடிவுறு கணங்கள். முடிவுறாக கணங்களின் எண்ணளவை முடிவுறா எண்ணாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

A = {1, 2, 3, 4 }, B = {1, 2, {3, 4}}, C = { சிவப்பு, பச்சை, நீலம் } ஆகிய மூன்று கணங்களில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாகும்:

• 2 ∈ A
• {3,4} ∈ B
• 3,4 ∉ B
• {3,4}, B இன் ஓர் உறுப்பு.
• Yellow ∉ C

D = { 2, 4,  8, 10, 12 } இன் எண்ணளவை  5 ஆகும்.

P  = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} ( பகா எண்களின் கணம்) இன் எண்ணளவை முடிவிலி ஆகும்.(இக்கூற்று யூக்ளிடால் நிறுவப்பட்டது).

மேலதிக வாசிப்புக்கு

• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics (Hardcover ed.), NY: Springer-Verlag, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-387-90092-6 - "Naive" means that it is not fully axiomatized, not that it is silly or easy (Halmos's treatment is neither).
• Jech, Thomas (2002), "Set Theory", Stanford Encyclopedia of Philosophy
• Suppes, Patrick (1972) [1960], Axiomatic Set Theory, NY: Dover Publications, Inc., பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-61630-4 - Both the notion of set (a collection of members), membership or element-hood, the axiom of extension, the axiom of separation, and the union axiom (Suppes calls it the sum axiom) are needed for a more thorough understanding of "set element".

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Element", MathWorld.