சமவாய்ப்பு மாறி

கணிதத்தின் ஒரு பிரிவான புள்ளியியலில் சமவாய்ப்பு மாறி அல்லது தன்னிச்சை மாறி அல்லது எழுமாற்று மாறி (random variable) என்பது, நிகழ்தகவு வெளியிலிருந்து மெய்யெண்களுக்கு வரையறுக்கப்படும் அளவிடக்கூடியதொரு சார்பாகும். பலவகையான சமவாய்ப்பு மாறிகள் உள்ளன. அவற்றுள் பொதுவானவை, தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி, தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி ஆகும். முடிவுறு (முடிவுறா) எண்ணுறு மதிப்புகளை அடையும் சமவாய்ப்பு மாறியானது தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி எனவும், ஒரு இடைவெளியில் இருக்கக்கூடிய அனைத்து மதிப்புகளையும் அடையக்கூடிய சமவாய்ப்பு மாறி, தொடர் சமவாய்ப்பு மாறி எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன. இதுவரை நிரந்தரமானதொரு மதிப்பளிக்கப்படாத, ஆனால் வேறுபட்ட மதிப்புகளை அடையக்கூடிய மாறியாகச் சமவாய்ப்பு மாறியைக் கருதலாம். மேலும் அதனை ஒரு சோதனையின் விளைவுகளின் எண்வடிவ விளக்கமாகவும் கருதலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறிகள்

• சீரான ஒரு நாணயத்தைச் சுண்டும்போது கூறுவெளி:

$\Omega$ = $\{{\text{H T}}\}$

இங்கு Y என்ற சமவாய்ப்பு மாறியைப் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்.

$Y(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{heads}},\\0,&{\text{if}}\ \ \omega ={\text{tails}}.\end{cases}}$

இச்சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பு:

$\rho _{Y}(y)={\begin{cases}{\frac {1}{2}},&{\text{if }}y=1,\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}y=0.\end{cases}}$

• ஒரு சீரான பகடையை உருட்டும் சமவாய்ப்புச் சோதனையின் கூறுவெளி:

$\Omega$ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

இங்கு சமவாய்ப்பு மாறி X ஐ, பகடையை ஒருமுறை உருட்டும்போது விழும் எண்ணாக எடுத்துக் கொண்டால்,

$X(\omega )={\begin{cases}1,&{\text{if a 1 is rolled}},\\2,&{\text{if a 2 is rolled}},\\3,&{\text{if a 3 is rolled}},\\4,&{\text{if a 4 is rolled}},\\5,&{\text{if a 5 is rolled}},\\6,&{\text{if a 6 is rolled}}.\end{cases}}$

$\rho _{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{6}},&{\text{if }}x=1,2,3,4,5,6,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறிகள்

ஒரு சுழலி, கிடைநிலையான திசையில் சுழலும்போது அதன் திசை ஒரு தொடர் சமவாய்ப்பு மாறியாகும். இத்திசைகளை வடக்கு, வடமேற்கு, தெற்கு, தென்கிழக்கு... எனக் குறிக்கலாம். ஆனால் சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள் மெய்யெண்களாக இருப்பது வசதியானது என்பதால் சுழலும் கோணத்தின் அளவை, வடக்கிலிருந்து கடிகாரத்திசையில் அளக்கப்பட்ட பாகைகளில் கொள்ளலாம். எனவே இச்சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள் [0, 360) என்ற இடைவெளியில் அமையும்.

சமவாய்ப்பு மாறி: X = சுழன்ற கோணம்.

சுழற்சியின் போது சுழன்ற கோணத்தின் அளவு குறிப்பிட்ட ஒரு மெய்யெண்ணாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு பூச்சியம். எனினும் சுழன்ற கோண அளவு, ஒரு குறிப்பிட்ட இடைவெளியாக இருப்பதற்கான நிகழ்தவு ஒரு நேர்ம எண்ணாகும். எடுத்துக்காட்டாக சுழன்ற கோணத்தின் அளவு [0, 180] என்ற இடைவெளியில் உள்ள ஏதாவதொரு மதிப்பாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு ½.

தொடர் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவானது, நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு எனப்படும். இந்தச் சோதனையில் X ன் நிகழ்தகவு அடர்த்தி 1/360 ஆகும். இடைவெளி [0, 360) ன் எந்தவொரு உள் இடைவெளிக்கான நிகழ்தவையும், அவ்விடைவெளியின் நீளத்தை 1/ 360 ஆல் பெருக்கிக் கணக்கிடலாம்.

பொதுவாக, ஒரு இடைவெளியில் தொடர் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட அதன் நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பை [f(x)] அந்த இடைவெளியில் தொகையிடுதல் வேண்டும்.

$\operatorname {P} [a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x.$