ஒத்தநிலை உருமாற்றம்

கணிதத்தில் ஒத்தநிலை அல்லது ஒத்தநிலை உருமாற்றம் (homothety, homothecy, Homothetic transformation) என்பது, கேண்முறை வெளியில் ஒரு உருமாற்றமாகும். உருமாற்ற மையம் என அழைக்கப்படும் ஒரு புள்ளி (S), உருமாற்ற விகிதம் என அழைக்கப்படும் ஒரு சுழியமற்ற எண் (λ) ஆகிய இரு காரணிகளால் ஒத்தநிலை உருமாற்றம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

ஒத்தநிலை உருமாற்றத் தொடர்புடைய இரு வடிவொத்த வடிவவியல் வடிவங்கள். இவற்றின் ஒத்தநிலை மையம் S. இந்த வடிவங்களின் ஒத்த புள்ளிகளில் அமையும் கோணங்கள் சமவளவும் ஒரே திசைப்போக்குடையவையாகவும் இருக்கும். (எ.கா): கோணங்கள் ABC, A'B'C' இரண்டும் கடிகாரதிசையில் சமவளவுடன் உள்ளன.

ஒத்தநிலை உருமாற்றம்:

$M\mapsto S+\lambda {\overrightarrow {SM}},$

அதாவது ஒத்தநிலை உருமாற்றம், புள்ளி S ஐ நிலையாகக் கொண்டு, ஒவ்வொரு புள்ளி M உம் புள்ளி N ஆக உருமாற்றுகிறது. மேலும் SM கோட்டிலேயே SN அமையும்; ஆனால் அளவில் λ காரணியவுளவுக்கு மாற்றப்படும்.

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒத்தநிலை உருமாற்றம் என்பது, ஒரு புள்ளியை நிலையாகக் கொண்டு, மேலும் எல்லாத் திசையன்களின் திசைகளையும் λ > 0 எனும்போது அதேதிசையிலும், λ < 0 எனும்போது எதிராகவும் மாற்றும் ஒரு உருமாற்றமாக அமையும். கேண்முறை வெளியிலும் யூக்ளீடிய வெளியிலும் பெயர்ச்சி உட்பட்ட எல்லா ஒத்தநிலை உருமாற்றங்களும் ஒரு குலமாக அமையும். இந்த உருமாற்றங்களில் ஒவ்வொரு கோட்டின் எதிருருக்கள் அந்தந்தக் கோடுகளுக்கு இணையான மற்றொரு கோடாக இருக்கும்.

வீழ்ப்பு வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமானது, வடிவொப்புமை உருமாற்றமாக அமையும். இந்த உருமாற்றத்தால் முடிவிலியில் அமையும் கோடு புள்ளிவாரி மாற்றமில்லாததாக இருக்கும்.

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் ஒரு ஒத்தநிலை உருமாற்றத்தின் விகிதம் λ எனில், இந்த உருமாற்றத்தால் புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவுகள் |λ| மடங்காகவும், பரப்பளவுகள் λ² மடங்காகவும் மாறும். |λ| ஆனது உருப்பெருக்க விகிதம், பெருக்கக் காரணி, அளவீட்டுக் காரணி அல்லது வடிவொப்புமை காரணி (ratio of magnification, dilation factor, scale factor, similitude ratio) என அழைக்கப்படும். |λ| இன் மதிப்பு  1 ஐ விட அதிகமாக இருக்கும்போது உருமாற்றமானது உருப்பெருக்கம் என அழைக்கப்படும். புள்ளி S ஒத்தநிலை மையம் அல்லது வடிவொப்புமை மையம் எனப்படும்.

ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் சீரான அளவுமாற்றமும்

ஒத்தநிலை மையம் S ஆனது திசையன் வெளியின் (S ≡ O) ஆதிப்புள்ளியுடன் (O) ஒன்றாகுமானால், λ விகிதம்கொண்ட ஒவ்வொரு ஒத்தநிலை உருமாற்றமும் அதே அளவீட்டுக் காரணி கொண்ட ஒரு சீரான அளவுமாற்றத்திற்குச் சமானமானதாக இருக்கும். இந்த அளவுமாற்றத்தின் விளைவு:

${\overrightarrow {OM}}\mapsto \lambda {\overrightarrow {OM}}.$

S ≡ O ஆக இருக்கும் இந்த சிறப்புவகை ஒத்தநிலை மாற்றம், ஒரு நேரியல் உருமாற்றமாக அமையும். மேலும் இந்த உருமாற்றம் புள்ளிகளின் ஒரு கோடமைவுத் தன்மையைக் காப்பதுடன் திசையன் கூட்டல் மற்றும் திசையிலியால் பெருக்கல் செயல்களையும் காக்கிறது.

(a, b) மையமும் λ விகிதமும் கொண்ட ஒரு ஒத்தநிலைஉருமாற்றத்தால் (x, y) புள்ளியின் எதிருரு:

(a + λ(x − a), b + λ(y − b)).

மேற்கோள்கள்

• Hadamard, J., Lessons in Plane Geometry
• Meserve, Bruce E. (1955), "Homothetic transformations", Fundamental Concepts of Geometry, Addison-Wesley, pp. 166–169
• Tuller, Annita (1967), A Modern Introduction to Geometries, University Series in Undergraduate Mathematics, Princeton, NJ: D. Van Nostrand Co.

வெளியிணைப்புகள்

• Homothety, interactive applet from Cut-the-Knot.