உருமாற்றம் (சார்பு)

கணிதத்தின் அரைக்குலக் கோட்பாட்டில் உருமாற்றம் (transformation) என்பது X என்ற ஒரு கணத்தை X கணத்துடனேயே இணைக்கும் ஒரு சார்பு f ஆகும் (f : X → X).^[1]^[2]^[3] கணிதத்தின் பிற பிரிவுகளில் ஆட்களம், இணையாட்களம் இரண்டையும் கருத்தில் எடுத்துக்கொள்ளாமலேயே உருமாற்றம் ஏதேனுமொரு சார்பாக கருதப்படுகிறது.^[4]

நேரியல் கோப்புகள், கேண்முறை உருமாற்றங்கள், சுழற்சிகள், எதிரொளிப்புகள் பெயர்ச்சிகள் ஆகியவை உருமாற்றங்களுக்கு எடுத்துக்காட்டுகளாகும். இவ்வுருமாற்றங்கள் யூக்ளிடிய வெளியில், $R 2$ (இரு பரிமாணம்) மற்றும் $R 3$ (முப்பரிமாணம்) இல் செயற்படுத்தப்படுகின்றன. நேரியல் இயற்கணிதத்தைப் பயன்படுத்தியும் உருமாற்றங்களைச் செயற்படுத்தி, அவற்றை அணிகள் மூலம் விளக்கலாம்.

பெயர்ச்சி தொகு

பெயர்ச்சி என்பது யூக்ளிடிய வெளியின் கேண்முறை உருமாற்றமாகும். பெயர்ச்சியில், யூக்ளிடிய வெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு குறிப்பிட்ட மாறாத் தொலைவுக்கு, ஒரே திசையில் நகர்கிறது. யூக்ளிடிய வெளியின் ஒவ்வொரு புள்ளியுடனும் ஒரு நிலையான திசையனைக் கூட்டுவதாகவும், ஆள்கூற்று முறைமையின் ஆதிப் புள்ளியின் நகர்த்தலாகவும் பெயர்ச்சியைக் கருதலாம்.

v ஒரு நிலையான திசையன் எனில், பெயர்ச்சி T_v இன் கீழ்:

T_v(p) = p + v.

எதிரொளிப்பு தொகு

எதிரொளிப்பு, யூக்ளிடிய தளத்திலிருந்து அத்தளத்திற்கே அமையுமொரு கோப்பு ஆகும். இது நிலையான புள்ளிகளின் கணத்தை மீத்தளமாகக் கொண்ட ஒரு சம அளவை உருமாற்றமாகும். இந்த நிலைப்புள்ளிகளின் கணமானது இரு பரிமாணத்தில் "எதிரொளிப்பின் அச்சு" ("சமச்சீர் அச்சு") என அழைக்கப்படும் கோடாகவும், முப்பரிமாணத்தில் "எதிரொளிப்புத் தளம்" என அழைக்கப்படும் தளமாகவும் அமையும்.

ஒரு அச்சில் அல்லது தளத்தில் எதிரொளிக்கப்பட்ட ஒரு வடிவத்தின் எதிருரு ஆடியில் எதிரொளிக்கப்பட்ட அதன் எதிருருவாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு நேர்குத்து அச்சில் எதிரொளிக்கப்பட்ட p இன் எதிருரு q ஆகவும், கிடைமட்ட அச்சில் எதிரொளிக்கப்பட்ட எதிருரு b ஆகவும் இருக்கும். தொடர்ந்து இருமுறை ஒரே அச்சில் எதிரொளிக்கப்படும்போது ஒரு வடிவம் மீண்டும் பழைய நிலையையே அடையும். ஒரு எதிரொளிப்புக்கு உட்படும் வடிவில் எந்தவிதமான மாற்றமும் நிகழவில்லையெனில் அவ்வடிவம் எதிரொளிப்பு சமச்சீர்மை கொண்டது எனப்படுகிறது. எதிரொளிப்பால் ஒரு வடிவின் திசைப்போக்கு எதிராவதால் எதிரொளிப்பு ஒரு எதிர் நகர்வாகக் கருதப்படும்.

சறுக்கு எதிரொளிப்பு தொகு

சறுக்கு எதிரொளிப்பின் எடுத்துக்காட்டு

சறுக்கு எதிரொளிப்பு, யூக்ளிடிய தளத்தின் ஒருவகை சமவளவை உருமாற்றம் ஆகும். ஒரு கோட்டில் எதிரொளிப்பு மற்றும் அந்த எதிரொளிப்பு அச்சுக்கு இணையான பெயர்ச்சி ஆகிய இரு உருமாற்றங்களின் சேர்ப்பே ஒரு சறுக்கு எதிரொளிப்பாகும். எதிரொளிப்பு, பெயர்ச்சி இரண்டையும் செய்யும் வரிசையை மாற்றினாலும் கிடைக்கும் விளைவில் மாற்றம் இருக்காது.

சுழற்சி தொகு

ஒரு நிலையான புள்ளியைப் பொறுத்து ஒரு பொருளைச் சுழற்றுவதன் மூலம் நிகழும் உருமாற்றம் சுழற்சி ஆகும். அந்த நிலையான புள்ளி ”சுழற்சி மையம்” எனப்படும். ஒரு பொருளின் நேர் கோணவளவு சுழற்சியில் அப்பொருள் எதிர்கடிகார திசையில் சுழற்றப்படுகிறது; எதிர் கோணவளவு சுழற்சியில் கடிகாரதிசையில் சுழற்றப்படுகிறது.

அளவீடு தொகு

சீரான அளவீடு என்பது பொருட்களின் வடிவைப் பெருக்கும் அல்லது குறுக்கும் நேரியல் கோப்பு ஆகும். இவ்வுருமாற்றத்தின் அளவீட்டுக் காரணி எல்லாத் திசைகளிலும் சமமாக இருக்கும். ஒத்தநிலை உருமாற்றம் அல்லது விரிவு (dilation) எனவும் அளவீடு அழைக்கப்படும். சீரான அளவீட்டில், மூலவுருவும் எதிருருவும் வடிவொத்தவையாக இருக்கும்.

நறுக்கம் தொகு

நறுக்கம் என்பது, ஆய அச்சுகளில் ஒன்றை சுழற்றுவதன் மூலம் அவ்வச்சுகள் ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக இல்லாமல் மாற்றப்படும் உருமாற்றமாகும். நறுக்கத்தின் கீழ் ஒரு செவ்வகம் இணைகரமாகவும், ஒரு வட்டம், நீள்வட்டமாகவும் உருமாறும். நறுக்கத்தினால் அச்சுகளுக்கு இணையான கோடுகளின் நீளங்கள் மாறாமல் இருந்தாலும் மற்ற கோடுகளின் நீளங்கள் மாறும்.

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. பக். 1. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-84800-281-4.
↑ Pierre A. Grillet (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. பக். 2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8247-9662-4. http://books.google.com/books?id=yM544W1N2UUC&pg=PA2.
↑ Wilkinson, Leland & Graham (2005). The Grammar of Graphics (2nd ). Springer. பக். 29. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-24544-7. http://books.google.com/books?id=NRyGnjeNKJIC&pg=PA29.
↑ P. R. Halmos (1960). Naive Set Theory. Springer Science & Business Media. பக். 30–. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-90092-6. http://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&pg=PA30.

[1] Olexandr Ganyushkin; Volodymyr Mazorchuk (2008). Classical Finite Transformation Semigroups: An Introduction. Springer Science & Business Media. பக். 1. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1-84800-281-4.

[Grillet1995-2] Pierre A. Grillet (1995). Semigroups: An Introduction to the Structure Theory. CRC Press. பக். 2. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-8247-9662-4. http://books.google.com/books?id=yM544W1N2UUC&pg=PA2.

[3] Wilkinson, Leland & Graham (2005). The Grammar of Graphics (2nd ). Springer. பக். 29. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-24544-7. http://books.google.com/books?id=NRyGnjeNKJIC&pg=PA29.

[Halmos1960-4] P. R. Halmos (1960). Naive Set Theory. Springer Science & Business Media. பக். 30–. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-387-90092-6. http://books.google.com/books?id=x6cZBQ9qtgoC&pg=PA30.

[1]

[2]

[3]

[4]