கணக் குறியீடு

கணங்கள், கணிதத்தின் அடிப்படை பொருட்களாகும். உள்ளுணர்வின்படி கணங்கள், குறிப்பிட்ட சில உறுப்புகளின் தொகுப்பாகும். இக்கணங்கள் பல்வேறான கணக் குறியீடுகளால் (Set notation) குறிக்கப்படுகின்றன. ஒரு கணத்தின் பண்புகளைப் பொறுத்து அக்கணத்தைக் குறிப்பதற்கான பொருத்தமான குறியீடு தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது.

கணத்தை ஒரு பொருளாகக் குறித்தல்

ஒரு கணத்தைப் பகுக்கவியலா உருப்படியாகக் கருதவேண்டிய சூழ்நிலையில், அக்கணமானது ஒரேயொரு பெரிய ஆங்கில எழுத்தால் குறிக்கப்படும். குறிப்பிலா, பொதுவான கணத்திற்கான குறியீடாக S பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஒரே சமயத்தில் பல கணங்களைக் கையாளும்போது அவை சில முதலாவதாக வரும் ஆங்கில எழுத்துக்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன: A, B, C, ... .

சில குறிப்பிட்ட எண் கணங்களுக்குத் தனிப்பட்ட குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன:

∅ – வெற்றுக் கணம் ($\emptyset$, $\varnothing$, {} எனவும் குறிக்கப்படும்)

Z – முழு எண்கள் (எண் என்ற பொருள்தரும் செர்மானியச் சொல் Zahl இன் முதலெழுத்து).

N – இயல் எண்கள்

Q – விகிதமுறு எண்கள் (ஈவு என்ற பொருள்படும் ஆங்கில வார்த்தை "Quotient" இன் முதலெழுத்து)

R – மெய்யெண்கள் (மெய்யெண்கள் என்பதற்கான ஆங்கிலச் சொல் "Real numbers" என்பதன் முதலெழுத்து)

C – சிக்கலெண்கள் (சிக்கலெண்கள் என்பதற்கான ஆங்கிலச் சொல் "Complex numbers" என்பதன் முதலெழுத்து)

இக்குறிப்பிட்ட எண்களின் கணங்களைக் குறிப்பதற்கு சில நூலாசிரியர்கள் $\mathbb {C}$, $\mathbb {N}$ போன்ற தடித்த எழுத்துருக்களைப் பயன்படுத்துகின்றனர். இம்முறையானது கையெழுத்துப் பிரதிகளுக்குப் பரவலாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகிறது. எனினும் டொனால்ட் குனுத் போன்ற கணித அச்சுக்கலை வல்லுநர்கள் இம்முறையை அச்சுப்பிரதிகளுக்கு ஏற்கவில்லை.

உறுப்புகளை முன்னிலைப்படுத்தும் குறியீடுகள்

கணங்களை ஒரே உருப்படியாகக் கொள்வைதைக் காட்டிலும் அவற்றின் உறுப்புகளுக்கு முக்கியத்துவம் அளிக்கப்படும் நிலைகளும் உண்டு.

விவரித்தல் அல்லது வருணனை முறை

கணங்களை அவற்றின் உறுப்புகளின் பண்பினை விளக்கும் சொற்களைக் கொண்டு குறிக்கும் முறை விவரித்தல் முறை அல்லது வருணனை முறை (Desciption Methed) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக:

A = முதல் நான்கு நேர்ம முழு எண்களை உறுப்புகளாகக் கொண்ட கணம்.

B = இந்தியக் கொடியில் உள்ள நிறங்களை உறுப்புகளின் கணம்

பட்டியல் முறை

இம்முறையில் ஒரு கணத்தின் உறுப்புகள் இரட்டை அடைப்புக்குறிக்குள் பட்டியலிடப்படுகின்றன.

முடிவுறு கணங்களை இம்முறைப்படி குறித்தல்:

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• இரட்டைப் பகா எண்களின் கணம் = {2}
• இந்திய தேசியக் கொடியின் நிறங்களின் கணம் = {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை}
• முதல் பத்து வர்க்க எண்களின் கணம் = {1, 4, 9}

கணங்களின் வரையறையின்படி ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளானது ஒரு கணத்தின் உறுப்பாக இருக்குமா இல்லையா என்பதுதான் முக்கியமானதே தவிர, அவை அக்கணத்தில் எத்தனையாவது உறுப்பாக உள்ளது என்பது அவசியமில்லை.

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் உறுப்புகளின் வரிசை மாறுவதால் அந்த கணங்களில் மாற்றமில்லாததைக் காணலாம்:

• இந்திய தேசியக் கொடியின் நிறங்களின் கணம் = {சிவப்பு, வெள்ளை, பச்சை} = {வெள்ளை, பச்சை, சிவப்பு}
• முதல் பத்து வர்க்க எண்களின் கணம் = {1, 4, 9} = {1, 9, 4}

இம்முறையில் வெற்றுக் கணமானது { } எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

ஏராளமான உறுப்புகளைக் கொண்ட பெரிய கணங்களைப் பொறுத்தவரை, அத்தனை உறுப்புகளையும் ஒவ்வொன்றாக எழுதிப் பட்டியலிடுதல் செயல்முறையில் மிகவும் கடினமானது. எடுத்துக்காட்டாக, E = {முதல் ஆயிரம் நேர்ம முழு எண்கள்} என்பதைப் பட்டியல் இடுவதென்பது எழுதுபவருக்கும், அதனை வாசிப்பவருக்கும்கூட மனச்சோர்வூட்டுகின்ற வேலையாகும். எனினும் ஒரு கணிதவியலாளர் இவ்வாறு பட்டியலிடுவதில்லை என்பதுடன், சொற்களாலும் விரித்துரைப்பதில்லை. மாற்றாகச் சுருக்கமான குறியீட்டு முறையில் பின்வருமாறு எழுதுவர்:

E = {1, 2, 3, ..., 1000}

வாசிப்பவருக்குப் புரியக்கூடிய வகையில் ஒழுங்குமுறையில் அமைந்த உறுப்புக்களைக் கொண்ட E போன்ற கணமொன்றைப் பொறுத்தவரை, பட்டியலைச் சுருக்கக் குறியீடாக எழுதி விளக்க முடியும். முழுப் பட்டியலும் எச்சப்புள்ளி (...) குறியீட்டைப் பயன்படுத்திச் சுருக்கப்பட்டுள்ளது.

முடிவுறாக் கணங்களையும் முப்புள்ளியைப் பயன்படுத்தி விளக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக:

அனைத்து இரட்டை முழுவெண்களின் கணம்:

{2, 4, 6, 8, ... }.

இக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தும்போது, ஒழுங்குமுறை தெளிவாகப் புரியும் வகையில் போதிய அளவு உறுப்புகள் காட்டப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, கீழேயுள்ள கணம் முதல் பதினாறு முழு எண்களையோ அல்லது இரண்டின் முதல் ஐந்து அடுக்குகளையோ குறிக்கக் கூடும்:

X = {1, 2, ..., 16}

அமைந்திருக்கும் ஒழுங்குமுறை இலகுவில் புரிந்துகொள்ள முடியாதபடி அமையுமாயின், மேற்காட்டிய சுருக்கிய பட்டியலின் பயன்பாட்டைத் தவிர்ப்பது நல்லது. எடுத்துக்காட்டாக,

F = {–4, –3, 0, ..., 357}

என்பதை வாசிக்கும்போது இக்கணமானது,

F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்}.

என்பது வெளிப்படையாகவோ தெளிவாகவோ தெரியவில்லை. இக்குறைபாட்டைக் கணக்கட்டமைப்பு முறை நிவர்த்தி செய்கிறது.

கணிதக்கட்டமைப்பு முறை

ஒரு கணத்திலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளின் பண்புகளை நிறைவு செய்யும் வகையில் அமைவது கணிதக்கட்டமைப்பு முறையாகும் (Set Builder Notation). கணிதக்கட்டமைப்பு முறையில் கணத்தை விளக்குவதற்கு கணிதக் குறியீடுகளும் சில மரபான குறிப்பு மொழிகளும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக:

F = {வர்க்க எண்ணிலும் நான்கு குறைவான முதல் 20 எண்கள்} - வருணனை முறை

F = {–4, –3, 0, ..., 357} - பட்டியல் முறை

F = {$n^{2}$ – 4 : n ஒரு முழு எண், மற்றும் 0 ≤ n ≤ 19} -கணக்கட்டமைப்பு முறை

கணக்கட்டமைப்பு முறையில் பயன்படுத்தப்படும் முக்கால் புள்ளி அல்லது விளக்கக்குறி (:) என்பதனை "எப்படி எனில்" அல்லது ஆங்கிலத்தில் such that என்று படிக்க வேண்டும்.

கணக்கட்டமைப்பு முறையை வாசிக்க வேண்டிய விதம்:

“மேற்கண்ட F என்னும் கணத்தின் உறுப்புகளாவன $n^{2}$ – 4 என்னும் வகையான எண்களாகும் - எப்படி எனில் n என்னும் முழு எண்ணானது 0 முதல் 19 வரை, இவ்விரு எண்களும் உட்பட, உள்ள எண்களாகும்”.

முக்கால் புள்ளி (:)என்னும் விளக்கக் குறிக்குப் பதிலாக சில நேரங்களில் பைப் (pipe) என்னும் நெடுங்கோடும் | குறியாகப் பயன்படுத்தப்படும்.

பிற குறியீடுகள்

S கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட உறவு R எனில், S இன் உறுப்புகளோடு (x) உறவு R ஆல் இணைக்கப்படும் பொருட்களின் கணமானது S_R(x) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டுகள்: எண்கோட்பாட்டில், வகுக்கும் (குறியீடு: |) என்ற உறவிற்கு, n என்ற முழு எண்ணின் காரணிகளின் (வகுஎண்கள்) கணமானது Z _| (n) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.