கணங்களின் இயற்கணிதம்

கணிதத்தில், கணங்களின் இயற்கணிதம் (the algebra of sets) என்பது கணங்கள், கணங்களின் சேர்ப்பு, வெட்டு, நிரப்பிகாணல் ஆகிய கணக்-கோட்பாட்டுச் செயல்கள், கணங்களின் சமத்தன்மைக்கும், உள்ளடக்கலுக்குமான உறவுகள் ஆகியவற்றுக்கான பண்புகளையும் விதிகளையும் வரையறுப்பதோடு, இந்த கணச் செயல்களும் உறவுகளும் கொண்ட கணக்கீடுகளுக்கான முறையான வழிமுறைகளையும் அளிக்கிறது.

கணங்களின் இயற்கணிதத்தின் அடிப்படைப் பண்புகள்

கணங்களுக்கான சேர்ப்பு ($\cup$), வெட்டு ($\cap$) ஆகிய இரு ஈருறுப்புச் செயலிகளும் பல முற்றொருமைகளை நிறைவு செய்கின்றன. அவற்றுள் பல, நிலையான பெயர்களையும் பெற்றுள்ளன.

பரிமாற்றுத்தன்மை:

• $A\cup B=B\cup A$
• $A\cap B=B\cap A$

சேர்ப்புப் பண்பு:

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

பங்கீட்டுப் பண்பு:

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

எண்கணிதத்தின் கூட்டல், பெருக்கல் செயலிகளுக்கு ஒத்தவையாக கணங்களின் சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய இரு செயல்களையும் கொள்ளலாம். எண்கணித கூட்டல், பெருக்கலைப் போலவே இவையும் பரிமாற்று விதியையும், சேர்ப்பு விதியையும் நிறைவு செய்கின்றன. மேலும் வெட்டுச் செயலானது சேர்ப்புச் செயலின் மீது பங்கீட்டு விதியை நிறைவு செய்யும். எண்கணிதத்தில் போலல்லாது, இங்கு சேர்ப்புச் செயலும் வெட்டின் மீது பங்கீட்டு விதியை நிறைவு செய்யும்.

வெற்றுக் கணம் $\varnothing$, அனைத்து கணம் ${\boldsymbol {U}}$ இவை இரண்டும் நிரப்பி செயலுடன் இணைந்து மேலும் இரு பண்புகள் அமைகின்றன. ($A^{\complement }$ என்பது கணம் $A$ இன் நிரப்பு கணத்தின் குறியீடு. இது $A'$ எனவும் குறிக்கப்படுகிறது). வெற்றுக் கணத்தில் உறுப்புகளே கிடையாது; அனைத்து கணத்தில், குறிப்பிட்ட சூழலுக்கேற்றபடி சாத்தியமான அனைத்து உறுப்புகளும் அடங்கும்.

முற்றொருமை:

• $A\cup \varnothing =A$
• $A\cap {\boldsymbol {U}}=A$

நிரப்பி:

• $A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}$
• $A\cap A^{\complement }=\varnothing$

எண்கணிதத்தில், கூட்டல் முற்றொருமை உறுப்பாக 0 உம், பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பாக 1 உம் இருப்பதுபோல, வெற்றுக்கணமான $\varnothing$, சேர்ப்புச் செயலுக்கான முற்றொருமை உறுப்பாகவும், அனைத்து கணமான ${\boldsymbol {U}}$, வெட்டுச் செயலிக்கான முற்றொருமை உறுப்பாகவும் உள்ளன.

மேலே தரப்பட்ட ஐந்து விதிகளும் அடிப்படையானவை. பிற விதிகளை இவற்றைலிருந்து பெற்றுக்கொள்ள முடியும்.

இருமைக் கோட்பாடு

மேலே தரப்பட்டுள்ள முற்றொருமைகள் ஒவ்வொன்றையும் ஒரே சோடி விதியில் அமைந்த ஒரு விதியாகக் கொள்ளலாம். ஏனெனில் அவை ஒவ்வொன்றிலும் $\cup ,$ $\cap$ இரண்டையும் பரிமாற்றக் கிடைக்கும் விதிகளும் உண்மையானவையாக இருக்கும். இதேபோல $\varnothing$, ${\boldsymbol {U}}$ இரண்டையும் பரிமாற்றுவதால் பெறப்படும் விதிகளும் உண்மையானவையாக இருக்கும்.

கணங்களின் இயற்கணிதத்தில் இப்பண்பு மிகவும் வலுவானதொரு பண்பாகவுள்ளது. இப்பண்பு கணங்களின் இருமைக் கோட்பாடு ஆகும். இக்கோட்பாட்டின்படி, கணங்களுக்கான ஏதேனுமொரு முற்றொருமையில் சேர்ப்பு ($\cup$), வெட்டு ($\cap$) ஆகிய இரு குறியீடுகளையும் பரிமாற்றம் அல்லது அனைத்து கணம், வெற்றுகணம் குறியீடுகளைப் ( ${\boldsymbol {U}}$, $\varnothing$) பரிமாற்றம் செய்வதன் மூலம் அந்த முற்றொருமையின் இருமையைப் பெறலாம். தனக்குத்தானே இருமையாக இருக்கும் முற்றொருமையானது தன்-இருமை எனப்படுகிறது.

சேர்ப்பு/வெட்டுச் செயலிகளுக்கான கூடுதல் விதிகள்

அனைத்து கணம் ${\boldsymbol {U}}$ இன் இரு உட்கணங்கள் $A$, $B$ எனில் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

தன்னடுக்கு விதிகள்:

• $A\cup A=A$
• $A\cap A=A$

ஆதிக்க விதிகள்:

• $A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}$
• $A\cap \varnothing =\varnothing$

உறிஞ்சுமை விதிகள்:

• $A\cup (A\cap B)=A$
• $A\cap (A\cup B)=A$

தன்னடுக்கு விதிக்கான நிறுவல்:

$A\cup A$	$=(A\cup A)\cap {\boldsymbol {U}}$	வெட்டுச் செயலிக்கான முற்றொருமை விதி
	$=(A\cup A)\cap (A\cup A^{\complement })$	சேர்ப்புச் செயலிக்கான நிரப்பி விதி
	$=A\cup (A\cap A^{\complement })$	வெட்டு மீதான சேர்ப்பின் பங்கீட்டு விதி
	$=A\cup \varnothing$	வெட்டுச் செயலிக்கான நிரப்பி விதி
	$=A$	சேர்ப்புச் செயலிக்கான முற்றொருமை விதி

மேலுள்ள நிறுவலின் இருமை நிறுவலானது, சேர்ப்புச் செயலியின் தன்னடுக்கு விதியின் இருமை விதியின் நிறுவலாக, அதாவது வெட்டுச் செயலிக்கான தன்னடுக்கு விதியின் நிறுவலாக அமைவதைப் பின்வரும் நிறுவலின் மூலம் காணலம்:

நிறுவல்:

$A\cap A$	$=(A\cap A)\cup \varnothing$	சேர்ப்புச் செயலிக்கான முற்றொருமை விதி
	$=(A\cap A)\cup (A\cap A^{\complement })$	வெட்டுச் செயலிக்கான நிரப்பி விதி
	$=A\cap (A\cup A^{\complement })$	சேர்ப்புச் செயலியின் மீதான வெட்டின் பங்கீட்டு விதி
	$=A\cap {\boldsymbol {U}}$	சேர்ப்புச் செயலிக்கான நிரப்பி விதி
	$=A$	வெட்டுச் செயலிக்கான முற்றொருமை விதி

இரு கணங்களின் வெட்டு கணத்தை வேறுபாட்டுக் கணத்தின் மூலமாகவும் எழுதலாம்:

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$

நிரப்பிகளுக்கான கூடுதல் விதிகள்

கீழுள்ளவை நிரப்பிகளைக் கொண்டுள்ள ஐந்து முக்கிய விதிகளாகும்:

அனைத்து கணம் ${\boldsymbol {U}}$ இன் இரு உட்கணங்கள் $A$, $B$ எனில்:

த மோர்கனின் விதி:

• $(A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }$
• $(A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }$

இரட்டை நிரப்பி அல்லது சுருள்வு விதி:

• $(A^{\complement })^{\complement }=A$

அனைத்து கணம், வெற்றுக் கணத்துக்கான நிரப்பி விதிகள்:

• $\varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}$
• ${\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing$

இருமுறை நிரப்பி காணலின் விளைவு, தன்-இருமையாக அமையும்.

அடுத்து தரப்பட்டுள்ள விதியும் தன்-இருமையானது. மேலும் இவை நிரப்பி விதிகளை நிறைவு செய்வது நிரப்பிகள் மட்டுமே என்பதையும் வலியுறுத்துகின்றது.

அனைத்து கணம் ${\boldsymbol {U}}$ இன் இரு உட்கணங்கள் $A$, $B$ எனில்:

நிரப்பிகளின் தனித்துவம்:

• $A\cup B={\boldsymbol {U}}$, $A\cap B=\varnothing$ எனில், $B=A^{\complement }$

உள்ளடங்கலுக்கான இயற்கணிதம்

கண உள்ளடங்கல், அதாவது ஒரு கணமானது மற்றொரு கணத்தின் உட்கணமாக இருக்கும் ஈருறுப்பு உறவானது, பகுதி வரிசையாக இருக்கும் என்பதை காட்டுகிறது:

$A$, $B$, $C$ என்பன மூன்று கணங்கள் எனில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையாக இருக்கும்:

எதிர்வு உறவு:

• $A\subseteq A$

எதிர்சமச்சீர் உறவு:

• $A\subseteq B$ and $B\subseteq A$ if and only if $A=B$

கடப்பு உறவு:

• If $A\subseteq B$ and $B\subseteq C$, then $A\subseteq C$

$A$, $B$ and $C$ ஆகியவை $S$ கணத்தின் உட்கணங்கள் எனில் பின்வரும் கூற்றுகள் உண்மையானவை:

• $\varnothing \subseteq A\subseteq S$
• $A\subseteq A\cup B$
• If $A\subseteq C$ and $B\subseteq C$, then $A\cup B\subseteq C$
• $A\cap B\subseteq A$
• If $C\subseteq A$ and $C\subseteq B$, then $C\subseteq A\cap B$

$A\subseteq B$ என்பது சேர்ப்பு, வெட்டு, நிரப்பி ஆகியவற்றைக் கொண்ட பல்வேறு கூற்றுகளுக்குச் சமானமானதாகும் என்பதைக் கீழ்வருவன காட்டுகின்றன:

$A$, $B$ இரு கணங்கள் எனில் கீழுள்ளவை சமானக் கூற்றுகளாகும்:

• $A\subseteq B$
• $A\cap B=A$
• $A\cup B=B$
• $A\setminus B=\varnothing$
• $B^{\complement }\subseteq A^{\complement }$

சார் நிரப்பிகளின் இயற்கணிதம்

சார் நிரப்பிகள் வேறுபாட்டுக் கணங்கள் தொடர்பான முற்றொருமைகள்:

அனைத்து கணம் ${\boldsymbol {U}}$; அதன் உட்கணங்கள் $A$, $B$ and $C$ எனில்:

• $C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)$
• $C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)$
• $C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)$
• $(B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)$
• $(B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)$
• $(B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)$
• $A\setminus A=\varnothing$
• $\varnothing \setminus A=\varnothing$
• $A\setminus \varnothing =A$
• $B\setminus A=A^{\complement }\cap B$
• $(B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }$
• ${\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }$
• $A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing$

மேற்கோள்கள்

• Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16—23.
• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".

வெளியிணைப்புகள்

• Operations on Sets at ProvenMath