கணித மாறிலி e-இன் உருவகிப்புகள்

கணித மாறிலி e (mathematical constant e), ஒரு மெய்யெண்ணாகப் பலவிதங்களில் உருவகிக்கப்படலாம். e ஒரு விகிதமுறா எண் என்பதால் அதனை ஒரு பின்னமாக எழுத முடியாது. ஆனால் அதனை ஒரு தொடரும் பின்னமாக எழுத முடியும். நுண்கணிதத்தின் மூலம் இக்கணித மாறிலியை ஒரு முடிவுறாத் தொடராக, முடிவுறாப் பெருக்கமாக அல்லது தொடர்முறையின் எல்லையாக எழுதலாம்.

தொடரும் பின்னமாக

கணிதவியலாளர் ஆய்லர் e ஐ ஒரு முடிவுறாத் தொடரும் பின்னமாக எழுதலாம் என்பதை நிறுவினார்.] (OEIS-இல் வரிசை A003417)

$e=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ].\,$

இதில் ஒரேயொரு பின்ன எண்ணை எடுத்துக்கொள்வதால் இதன் ஒருங்கல் மும்மடங்காகும்:

$e=[1;{\textbf {0.5}},12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,{\textbf {4(4n-1)}},{\textbf {4n+1}},\ldots ].\,$

e இன் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட முடிவுறா தொடரும் பின்ன விரிவுகள் சில:

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}$

$e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}$

[1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...] க்குச் சமானமான கடைசி விரிவு, படிக்குறிச் சார்பின் பொது வாய்பாடாகும்:

$e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}$

முடிவுறாத் தொடராக

e -கணித மாறிலியை முடிவுறாத் தொடரின் கூடுதலாக எழுதலாம்:

$e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}$, x ஒரு மெய்யெண்.

x = 1, −1 எனில்:

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$,

$e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}$

பிற தொடர்கள்:

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}$

$e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}$

$e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}$

$e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}$

$e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}$

$e=\left[-{\frac {12}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right)\right]^{-1/3}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}$ $B_{n}$ என்பது $n$வது பெல் எண்.

சில எடுத்துக்காட்டுகள்: (n=1,2,3)

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}$

$e=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}$

முடிவுறாப் பெருக்கமாக

கணித மாறிலி e, பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் உட்பட்ட பல முடிவுறாப் பெருக்கங்களாக எழுதப்படுகிறது:

• பிப்பிங்கரின் பெருக்கம் ( Pippenger's product)

$e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots$

• கில்லெராவின் பெருக்கம் (Guillera's product)

$e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,$ இதன் n வது காரணியானது கீழுள்ள பெருக்கத்தின் n ஆம் படிமூலமாகும்.

$\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},$

• மற்றுமொரு முடிவுறாப் பெருக்கம்

$e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.$

தொடர்வரிசையின் எல்லையாக

பல தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக e அமையும்:

இசுடெர்லிங் வாய்பாட்டின்படி:

$e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}$

$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}$

சமச்சீர் எல்லை:

$e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]$ e இன் அடிப்படை எல்லை வரையறையைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் இதனை அடையலாம்.

அடுத்த இரு வரையறைகளும் பகா எண் தேற்றத்தின் நேரடி கிளைமுடிவுகளாக அமையும்:

$e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}.$ இதில் $p_{n},$ n வது பகா எண்; $p_{n}\#$, n இன் பகாஎண் தொடர்பெருக்கம்.

$e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}$ இதில் $\pi (n)$, பகாத்தனி-எண்ணும் சார்பு.

மேலும்:

$e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.$

இவ்வெல்லையின் சிறப்புவகையாக $x=1$ எனும்போது:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

முக்கோணவியலில்

முக்கோணவியலில் இரு அதிபரவளையச் சார்புகளின் கூடுதலாக எழுதலாம்:

$e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x)\,$