சமச்சீர் கோட்டுரு

கோட்டுருவியலில் G என்ற கோட்டுரு சமச்சீரானது அல்லது சமச்சீர் கோட்டுரு (symmetric) எனில் அது கீழ்வரும் முடிவினை நிறைவு செய்ய வேண்டும்:

G இன் அடுத்துள்ள முனைகளின் இரண்டு இருமங்கள் u₁—v₁ மற்றும் u₂—v₂ எனில்:

f(u₁) = u₂ and f(v₁) = v₂.^[1] என்றவாறு f : V(G) → V(G) என்ற கோட்டுரு தன்னுருவாக்கம் இருக்கும்.

சமச்சீர் கோட்டுரு என்பதை அது "வில்-கடப்புக் கோட்டுரு" (arc-transitive) என்றும் கூறப்படுகிறது. (இங்கு ஒரு கோட்டுருவின் வில் (arc) என்பது கோட்டுருவின் இரு அடுத்துள்ள முனைகளின் வரிசை இருமத்தைக் குறிக்கிறது).

சமச்சீர் கோட்டுருவினைப் பின்வருமாறும் விளக்கலாம்:

கோட்டுருவின் தன்னுருவாக்கக் குலமானது கோட்டுருவின் முனைகளின் வரிசை இருமங்களின்மீது கடப்புத்தன்மையுடன் செயற்பட்டால் அக்கோட்டுரு சமச்சீரானது ஆகும்^[2] இதுமாதிரியான கோட்டுரு சிலசமயங்களில் "1-வில்-கடப்பு" (1-arc-transitive) என்றும் அழைக்கப்படும்.^[2]^[3]

வரையறைப்படி, தனித்துள்ள முனைகளற்ற சமச்சீர் கோட்டுருக்கள் முனை-கடப்புக் கோட்டுருக்களாகவும் இருக்கும்.^[1] மேலும் சமச்சீர் கோட்டுருவின் இரண்டாவது விளக்கத்தின் படி அது விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருவாகவும் இருக்கும்.

எனினும் விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருவாகவுள்ளது சமச்சீரான கோட்டுருவாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. a—b, c—d உடன் கோர்க்கலாம். ஆனால் d—c உடன் கோர்க்கப்படாது. விண்மீன் கோட்டுரு இதற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டாகும். விண்மீன் கோட்டுரு விளிம்பு-கடப்பு கொண்டது; ஆனால் முனை-கடப்போ அல்லது சமச்சீரோ இல்லாதது. இதற்கு மற்றுமொரு எடுத்துக்காட்டு அரை-சமச்சீர் கோட்டுருக்களாகும். இவை விளிம்பு-கடப்பு மற்றும் ஒழுங்கு கோட்டுருக்கள் ஆனால் முனை-கடப்புக் கோட்டுருக்கள் அல்ல.

ஒவ்வொரு இணைப்புள்ள சமச்சீர் கோட்டுருக்களும் முனை-கடப்பு மற்றும் விளிம்பு-கடப்பு கோட்டுருக்களாக இருக்கும். இதன் மறுதலை ஒற்றையெண் படிகொண்ட கோட்டுருக்களுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.^[3] இரட்டையெண் படிகொண்ட இணைப்புக் கோட்டுருக்களில், முனை-கடப்பு மற்றும் விளிம்பு-கடப்புக் கோட்டுருக்களாக இருந்து சமச்சீரற்ற கோட்டுருக்களாக உள்ளவையும் உண்டு.^[4] இத்தகையக் கோட்டுருக்கள் "அரை-கடப்புக் கோட்டுரு"க்களென அழைக்கப்படுகின்றன.^[5]

மேற்கோள்கள் தொகு

↑ ^1.0 ^1.1 Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (2nd ). Cambridge: Cambridge University Press. பக். 118–140. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-45897-8.
↑ ^2.0 ^2.1 Chris Godsil; Gordon Royle (2001). Algebraic Graph Theory. New York: Springer. பக். 59. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-95220-9. https://archive.org/details/algebraicgraphth00gods.
↑ ^3.0 ^3.1 Babai, L (1996). "Automorphism groups, isomorphism, reconstruction". in Graham, R; Martin Grötschel; Lovász, L. Handbook of Combinatorics. Elsevier இம் மூலத்தில் இருந்து 2010-06-11 அன்று. பரணிடப்பட்டது.. http://www.cs.uchicago.edu/files/tr_authentic/TR-94-10.ps. பார்த்த நாள்: 2020-06-13.
↑ Bouwer, Z. "Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs." Canad. Math. Bull. 13, 231–237, 1970.
↑ Gross, J.L. & Yellen, J. (2004). Handbook of Graph Theory. CRC Press. பக். 491. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:1-58488-090-2. https://archive.org/details/handbookofgrapht0000unse.

வெளியிணைப்புகள் தொகு

Cubic symmetric graphs (The Foster Census). Data files for all cubic symmetric graphs up to 768 vertices, and some cubic graphs with up to 1000 vertices. Gordon Royle, updated February 2001, retrieved 2009-04-18.
Trivalent (cubic) symmetric graphs on up to 2048 vertices. Marston Conder, August 2006, retrieved 2009-08-20.

[biggs-1] 1.0 ^1.1 Biggs, Norman (1993). Algebraic Graph Theory (2nd ). Cambridge: Cambridge University Press. பக். 118–140. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-45897-8.

[godsil-2] 2.0 ^2.1 Chris Godsil; Gordon Royle (2001). Algebraic Graph Theory. New York: Springer. பக். 59. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-95220-9. https://archive.org/details/algebraicgraphth00gods.

[babai-3] 3.0 ^3.1 Babai, L (1996). "Automorphism groups, isomorphism, reconstruction". in Graham, R; Martin Grötschel; Lovász, L. Handbook of Combinatorics. Elsevier இம் மூலத்தில் இருந்து 2010-06-11 அன்று. பரணிடப்பட்டது.. http://www.cs.uchicago.edu/files/tr_authentic/TR-94-10.ps. பார்த்த நாள்: 2020-06-13.

[4] Bouwer, Z. "Vertex and Edge Transitive, But Not 1-Transitive Graphs." Canad. Math. Bull. 13, 231–237, 1970.

[handbook-5] Gross, J.L. & Yellen, J. (2004). Handbook of Graph Theory. CRC Press. பக். 491. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:1-58488-090-2. https://archive.org/details/handbookofgrapht0000unse.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]