சர்வசம உறவு

நுண்புல இயற்கணிதத்தில், சர்வசம உறவு அல்லது முற்றொப்பு உறவு (congruence relation அல்லது சுருக்கமாக congruence) என்பது குலம், வளையம், திசையன் வெளி போன்ற இயற்கணித அமைப்புகளில் அவற்றோடு ஒத்தியங்கும் வகையில் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவு ஆகும். ஒரு இயற்கணித அமைப்பின்மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு சர்வசம உறவுக்கும் ஒத்ததொரு ஈவு அமைப்பு இருக்கும். அந்த ஈவு அமைப்பின் உறுப்புகள் சர்வசம உறவினால் கிடைக்கப்பெறும் சமானப் பகுதிகளாக (அல்லது சர்வசமப் பகுதிகள்) இருக்கும்.

எளிய எடுத்துக்காட்டு

எண்கணிதத்தில், முழு எண்களின்மீது வரையறுக்கப்பட்ட சமானம், மாடுலோ n, சர்வசம உறவுக்கு ஒரு முன்னோடி எடுத்துக்காட்டு.

$n$ ஒரு இயல் எண்; $a,b,$ முழு எண்களானால், $a$ யும் $b$ யும் $n$ மாடுலோ சமானம் பெற்றிருந்தால்:

$a-b,$ எண் $n$ இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

இதன் குறியீடு:

$a\equiv b$ (mod $n$)

$37$, $57$ இரண்டும் சமானம் மாடுலோ $10$ ஆகும்.

$37\equiv 57{\pmod {10}}$ (37, 57 இரண்டும் 10 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதி 7 ஐக் கொண்டுள்ளன)

சமானம் மாடுலோ $n$ ($n$ ஒரு நிலையெண்), கூட்டல், பெருக்கல் ஆகிய இரு செயலிகளுடனும் ஒத்தியங்கக் கூடியது.

$a_{1}\equiv a_{2}{\pmod {n}},$ $b_{1}\equiv b_{2}{\pmod {n}}$ எனில்:

$a_{1}+b_{1}\equiv a_{2}+b_{2}{\pmod {n}}$ and $a_{1}b_{1}\equiv a_{2}b_{2}{\pmod {n}}$

சமானப் பகுதிகளின் கூட்டலும் கழித்தலும் மாடுலோ எண்கணிதம் என்றறியப்படுகிறது.

நுண்புல இயற்கணிதப் பார்வையில், முழுஎண் வளையத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட சர்வசம உறவாக சமானம் மாடுலோ $n$ ம், ஒத்த ஈவு வளையத்தில் எண்கணித மாடுலோவும் அமைகின்றன.

வரையறை

குறிப்பிட்ட இயற்கணித அமைப்பைப் பொறுத்து சர்வசம உறவின் வரையறை அமையும். குலங்கள், வளையங்கள், திசையன் வெளிகள், கலங்கள், அரைக்குலங்கள் போன்றவற்றில் அவை ஒவ்வொன்றுக்குமான சர்வசம உறவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.

குலம்

∗ ஈருறுப்புச் செயலியுடன் கூடிய குலம் $G$ எனில், குலம் G இன் மீது வரையறுக்கப்படும் சர்வசம உறவு , G இன் உறுப்புகளின் மீதான ஒரு சமான உறவாக அமைந்து பின்வரும் முடிவை நிறைவு செய்யும்.

g₁, g₂, h₁, h₂ ∈ G எனில்:

g₁ ≡ g₂   ,   h₁ ≡ h₂    ⇒    g₁ ∗ h₁ ≡ g₂ ∗ h₂

ஒரு குலத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சர்வசம உறவுக்கு, முற்றொருமை உறுப்பு அடங்கிய சமானப் பகுதி எப்பொழுதும் ஒரு இயல்நிலை உட்குலமாகவும், பிற சமானப் பகுதிகள், இந்த உட்குலத்தின் இணைக்கணங்களாகவும், சமானப் பகுதிகள் அனைத்தும் சேர்ந்து ஈவு குலத்தின் உறுப்புகளாகவும் இருக்கும்.

குலம் G இன் ஈருறுப்புச் செயலி *; முற்றொருமை உறுப்பு e ; G மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு ~, G இல் ஒரு சர்வசம உறவு எனில்:

• G இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு a க்கும், a ~ a (எதிர்வு);
• G எவையேனும் இரு உறுப்புகள் a , b க்கும், a ~ b   ⇒   b ~ a (சமச்சீர்);
• G இன் எவையேனும் மூன்று உறுப்புகள் a, b, c .

a ~ b , b ~ c எனில், a ~ c (கடப்பு);

• G இன் உறுப்புகள் a, a' , b, b' .

a ~ a' , b ~ b' எனில் a * b ~ a' * b' ;

• G இன் உறுப்புகள் a , a'

a ~ a' எனில், a⁻¹ ~ a' ⁻¹

வளையம்

ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட ஈருறுப்புச் செயலிகளை ஒரு இயற்கணித அமைப்புக் கொண்டிருந்தால், அந்த அமைப்பின்மீது வரையறுக்கப்படும் சர்வசம உறவுகள், அந்தமைப்பின் ஈருறுப்புச் செயலிகளுடன் ஒத்தியங்கக் கூடியனவாய் இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வளையமானது கூட்டல், பெருக்கல் என இரண்டு ஈருறுப்புச் செயலிகளைக் கொண்டது. வளையத்தில் வரையறுக்கப்படும் சர்வசம உறவு கீழுள்ளவற்றை நிறைவு செய்ய வேண்டும்.

r₁ ≡ r₂ ; s₁ ≡ s₂ எனில்:

r₁ + s₁ ≡ r₂ + s₂   ,   r₁s₁ ≡ r₂s₂

வளையத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட சர்வசம உறவுக்கு, 0 (கூட்டல் செயலியின் முற்றொருமை) கொண்ட சமானப்பகுதி எப்பொழுதும் ஒரு இரு-பக்க சீர்மமாகும். வளையத்தின் இரு ஈருறுப்புச் செயலிகளுடன் அனைத்துச் சமானப் பகுதிகளின் கணம், ஈவு வளையமாக இருக்கும்.

பொதுவான இயற்கணித அமைப்பு

ஒரு இயற்கணித அமைப்பின்மீது வரையறுக்கப்பட்ட சர்வசம உறவு கீழுள்ளவாறு அமைகிறது:

ஒவ்வொரு n-உறுப்புச் செயலி μ க்கும்,

ஒவ்வொரு i க்கும், a_i ≡ a_i′ என அமையும் இயற்கணித அமைப்பின் உறுப்புகள் :a₁,...,a_n, :a₁′,...,a_n′ க்கும்,

μ(a₁, a₂, ..., a_n) ≡ μ(a₁′, a₂′, ..., a_n′) என்ற முடிவை நிறைவு செய்யும் சமான உறவு, சர்வசம உறவாகும்.

காப்பமைவியங்களுடன் தொடர்பு

ƒ: A → B என்பது இரு இயற்கணித அமைப்புகளுக்கிடையேயான காப்பமைவியம் எனில் (குலங்களின் காப்பமைவியம் அல்லது திசையன் வெளிகளுக்கிடையேயான நேரியல் கோப்பு போன்றவை):

    ƒ(a₁) = ƒ(a₂) என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, a₁ $R$ a₂     என்று வரையறுக்கப்படும் உறவு $R,$ ஒரு சர்வசம உறவு.

சமஅமைவியத் தேற்றத்தின்படி, இந்த சர்வசம உறவால் ƒ இன் கீழ் A இன் எதிருரு, A இன் ஈவுக்கு சமஅமைவியமான B இன் உள்ளமைப்பாக இருக்கும்.

மேற்கோள்கள்

• Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-38632-2. (Section 4.5 discusses congruency of matrices.)

வெளியிணைப்புகள்

• http://www.math.hawaii.edu/~ralph/Classes/619/d_congr.pdf