A அணியின் இணைக்காரணி அணி C இன் இடமாற்று அணியானது A இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.
a
d
j
(
A
)
=
C
T
.
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}~.}
R ஒரு பரிமாற்று வளையம்; R இலுள்ள உறுப்புகளாலான n ×n அணி A .
M ij A அணியின் (i ,j ) சிற்றணிக்கோவை ; இது A அணியின் i ஆவது நிரையையும் j ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (n − 1)×(n − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை .C ij A அணியின் (i ,j ) இணைக்காரணி ;
C
i
j
=
(
−
1
)
i
+
j
M
i
j
.
{\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}~.}
A அணியின் இணைக்காரணி அணி C என்பது ஒரு n ×n (i ,j ) ஆவது உறுப்பு A அணியின் (i , j ) ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்C அணியின் இடமாற்று அணியே A அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது n ×n i ,j ) உறுப்பானது A அணியின் (j ,i ) இணைக்காரணியாக அமையும்:
a
d
j
(
A
)
i
j
=
C
j
i
=
(
−
1
)
i
+
j
M
j
i
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\,}
A
a
d
j
(
A
)
=
det
(
A
)
I
.
{\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} ~.}
R இல், det(A ) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:
a
d
j
(
A
)
=
det
(
A
)
A
−
1
,
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}~,}
A
−
1
=
1
det
(
A
)
a
d
j
(
A
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~.}
எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி:
I
=
(
1
)
{\displaystyle \mathbf {I} =(1)}
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}
adj
(
A
)
=
(
d
−
b
−
c
a
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}
மேலும் det(adj(A )) = det(A ) என்பதும் adj(adj(A )) = A என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}
இதன் இணைக்காரணி அணி:
C
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}
சேர்ப்பு அணி:
adj
(
A
)
=
C
T
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}
adj
(
−
3
2
−
5
−
1
0
−
2
3
−
4
1
)
=
(
−
8
18
−
4
−
5
12
−
1
4
−
6
2
)
{\displaystyle \operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}}
செயல்முறை:
(
−
3
2
−
5
−
1
0
−
2
3
−
4
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}}
C
=
(
+
|
0
−
2
−
4
1
|
−
|
−
1
−
2
3
1
|
+
|
−
1
0
3
−
4
|
−
|
2
−
5
−
4
1
|
+
|
−
3
−
5
3
1
|
−
|
−
3
2
3
−
4
|
+
|
2
−
5
0
−
2
|
−
|
−
3
−
5
−
1
−
2
|
+
|
−
3
2
−
1
0
|
)
=
(
−
8
−
5
4
18
12
−
6
−
4
−
1
2
)
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}0&-2\\-4&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&-2\\3&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&0\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}2&-5\\-4&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&-5\\3&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&2\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}2&-5\\0&-2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&2\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}}
இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:
C
T
=
(
−
8
−
5
4
18
12
−
6
−
4
−
1
2
)
T
=
(
−
8
18
−
4
−
5
12
−
1
4
−
6
2
)
=
adj
(
−
3
2
−
5
−
1
0
−
2
3
−
4
1
)
{\displaystyle \mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}=\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}}
சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:
A , B இரண்டும் n ×n
a
d
j
(
I
)
=
I
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} }
a
d
j
(
A
B
)
=
a
d
j
(
B
)
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
a
d
j
(
c
A
)
=
c
n
−
1
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~}
m ஒரு முழு எண் எனில்:
a
d
j
(
A
m
)
=
a
d
j
(
A
)
m
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}~}
a
d
j
(
A
T
)
=
a
d
j
(
A
)
T
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}~}
A ஒரு n ×n அணி; மேலும் n ≥ 2 எனில்:
det
(
a
d
j
(
A
)
)
=
det
(
A
)
n
−
1
,
{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},}
மேலும் A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க n ×n அணி எனில்:
a
d
j
(
a
d
j
(
A
)
)
=
det
(
A
)
n
−
2
A
,
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} ~,}
A நேர்மாற்றத்தக்கது, n = 2 எனில்:
det(adj(A )) = det(A )
adj(adj(A )) = A நேர்மாற்றத்தக்க அணி A க்கு k தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:
a
d
j
k
(
A
)
=
det
(
A
)
(
n
−
1
)
k
−
(
−
1
)
k
n
A
(
−
1
)
k
,
{\displaystyle \mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,}
det
(
a
d
j
k
(
A
)
)
=
det
(
A
)
(
n
−
1
)
k
.
{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.}
Matrix Reference Manual Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8"adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }" . வொல்பிராம் அல்பா 
