தொலெமியின் தேற்றம்

யூக்ளிடிய வடிவவியலில் தொலெமியின் தேற்றம் (Ptolemy's theorem) ஒரு வட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு பக்கங்களுக்கும் இரு மூலைவிட்டங்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பைத் தருகிறது. கிரேக்க வானிலையியலாளரும் கணிதவியலாளருமான தொலெமியின் பெயரால் இத்தேற்றம் அழைக்கப்படுகிறது.^[1] தொலெமி வானிலையியல் பயன்பாட்டுக்கு உதவும் வகையில் தனது நாண்களின் அட்டவணை, முக்கோணவியல் அட்டவணை ஆகியவற்ற உருவாக்குவதற்கு இத்தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியுள்ளார்.

தேற்றத்தின் கூற்று:

ஒரு தரப்பட்ட நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகள் A, B, C, D ஒரே வட்டத்தில் அமைந்தால்:

|{\overline {AC}}|\cdot |{\overline {BD}}|=|{\overline {AB}}|\cdot |{\overline {CD}}|+|{\overline {BC}}|\cdot |{\overline {AD}}|

அதாவது இத்தேற்றத்தின்படி:

ஒரு நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மீதமைந்தால் அந்நாற்கரத்தின் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது அதன் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.

மேலும் தொலெமியின் தேற்றத்தின் மறுதலையும் உண்மையாகும்:

ஒரு நாற்கரத்தின் எதிரெதிர் பக்கங்களின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூடுதலுக்குச் அதன் மூலைவிட்ட நீளங்களின் பெருக்குத்தொகையானது சமமாக இருந்தால் அந்நாற்கரத்தின் நான்கு உச்சிகளும் ஒரே வட்டத்தின் மேல் அமையும்.

எடுத்துக்காட்டுக்கள்

சமபக்க முக்கோணம்

ஒரு வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட சமபக்க முக்கோணம் பற்றிய தேற்றமொன்று தொலெமி தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாகக் கிடைக்கிறது.^[2]

வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒரு சமபக்க முக்கோணமும் அவ்வட்டத்தின் மீது அமையும் ஒரு புள்ளியையும் எடுத்துக்கொள்ள:

வட்டத்தின் மீதுள்ள புள்ளிக்கும் அப்புள்ளியிலிருந்து அதிக தொலைவிலுள்ள சமபக்க முக்கோண உச்சிக்கும் இடையிலுள்ள தூரமானது, முக்கோணத்தின் மற்ற இரு உச்சிகளுக்கும் அந்தப் புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரங்களின் கூடுதலுக்குச் சமமாகும்.

நிறுவல்: சமபக்க முக்கோணம் ABC இன் மூன்று உச்சிகளும் அதன் சுற்றுவட்டத்தின் மேலுள்ள ஒருபுள்ளியும் சேர்ந்து ஒரு வட்ட நாற்கரத்தை அமைக்கின்றன. படத்தில் தரப்பட்டுள்ள இந்த வட்ட நாற்கரத்தின் மூலைவிட்டமொன்று சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கமாக அமைகிறது. எனவே அம்மூலைவிட்டத்தின் நீளம் s தொலெமியின் தேற்ற முடிவைப் பயன்படுத்த:

qs=ps+rs\Rightarrow q=p+r.

சதுரம்

எந்தவொரு சதுரத்தையும் ஒரு வட்டத்துக்குள் வரைய முடியும். ஒரு சதுரத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் மையம், சதுரத்தின் பொருள் மையமாக (center of mass) இருக்கும். சதுரத்தின் பக்க அளவு $a,$ மூலைவிட்டத்தின் நீளம் $d,$ எனில் தொலெமியின் தேற்றப்படி:

d^{2}=a^{2}+a^{2}=2a^{2}\Rightarrow d=a{\sqrt {2}}

செவ்வகம்

Pythagoras' theorem: "manifestum est": Copernicus

ஒரு செவ்வகத்தில் தொலெமியின் தேற்றம் பித்தாகரசின் தேற்றமாகிறது. சுற்றுவட்ட மையம் செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் வெட்டிக் கொள்ளும் புள்ளியில் அமையும். செவ்வகத்தின் பக்க அளவுகள் a , b மற்றும் மூலைவிட்டம் d (செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டங்கள் சம நீளமுடையவை) எனில் தொலமியின் தேற்றப்படி:

d^{2}=a^{2}+b^{2}

இம்முடிவு படத்தில் காணப்படும் செங்கோண முக்கோணத்தில் பித்தாகரசு தேற்ற முடிவாக இருப்பதையும் காணலாம்.

ஐங்கோணம்

வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணம்.

ஒரு ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் பக்க அளவுக்கும் பொது நீளமுடைய அதன் நாண்களுக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பினை தொலெமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறலாம். ஐங்கோணத்தின் பக்க நீளம் a மற்றும் சம நீளமுடைய ஐந்து நாண்களின் பொது நீளம் b எனில் பக்க அளவுக்கும் நாணின் நீளத்திற்கும் இடையேயான தொடர்பு:

b^{2}=a^{2}+ab

இதிலிருந்து பொன் விகிதம்:

\varphi ={b \over a}={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}.

^[3]

தசகோணத்தின் பக்கம்

வட்டத்துக்குள் வரையப்பட்ட தசகோணத்தின் பக்கம்

ஒழுங்கு ஐங்கோணம் ABCDE இன் சுற்றுவட்டத்தின் விட்டம் AF, DC பக்கத்தை இருசமக்கூறிடுமாறு வரைந்தால், DF, CF இரண்டும் அவ்வட்டத்துக்குள் வரையக்கூடிய ஒரு தசகோணத்தின் பக்கங்களாக (c) அமையும். இப்போது தொலெமியின் தேற்றத்தை ADFC வட்ட நாற்கரத்துக்குப் பயன்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:

ad=2bc\;

பொன் விகிதம், $\varphi ={\frac {b}{a}}\Rightarrow b=\varphi a$

இதனைப் பயன்படுத்த:

\Rightarrow ad=2\varphi ac

\Rightarrow c={\frac {d}{2\varphi }}.

^[4]

இது ஒழுங்கு தசகோணத்தின் பக்க அளவை சுற்றுவட்ட விட்டத்தின் மூலமாகக் காணும் வாய்ப்பாட்டினைத் தருகிறது.

செங்கோண முக்கோணம் AFD இல் பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒழுங்கு ஐங்கோணத்தின் மூலைவிட்டத்தின் அளவை ("b") விட்டத்தின் மூலம் கண்டுபிடித்த பின் அந்த மதிப்பைப் பயன்படுத்திக் காணப்படும் ஐங்கோணத்தின் பக்கம் "a" இன் மதிப்பு:^[5]

a={\frac {b}{\varphi }}=b(\varphi -1).\

தொலமியின் தேற்றத்திலிருந்து பெறப்படும் இம்முடிவினை நிக்கோலாஸ் கோப்பர்னிக்கஸ் பின்வருமாறு குறிப்பிடுகிறார்:

"ஒரு வட்டத்தின் விட்டம் தரப்பட்டிருக்குமேயானால், அவ்வட்டத்துக்குள் வரையப்படும் முக்கோணம், நாற்கரம், ஐங்கோணம், அறுகோணம், தசகோணம் ஆகியவற்றின் பக்கங்களும் தரப்பட்டுள்ளன." – ^[6]

நிறுவல்

தொலெமியின் தேற்றத்தின் நிறுவலுக்கு வரையப்பட்டவை

ABCD ஒரு வட்ட நாற்கரம்
நாண் BC இல், ∠BAC = ∠BDC; நாண் AB இல், ∠ADB = ∠ACB.
∠ABK = ∠CBD என்றவாறு AC இன் மீது K புள்ளி குறிக்கப்படுகிறது;
1. ∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD என்பதால், ∠CBK = ∠ABD.
இப்பொழுது △ABK , △DBC இரண்டும் வடிவொத்தவை; அதேபோல் △ABD, △KBC இரண்டும் வடிவொத்தவை.
எனவே AK/AB = CD/BD; CK/BC = DA/BD;
1. அதாவது AK·BD = AB·CD; CK·BD = BC·DA;
2. இவ்விரண்டையும் கூட்ட: AK·BD + CK·BD = AB·CD + BC·DA;
3. (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
4. AK+CK = AC என்பதால், AC·BD = AB·CD + BC·DA

தொலெமியின் தேற்றம் நிறுவப்பட்டது.

(எளிய வட்ட நாற்கரங்களுக்கு மட்டுமே இந்த நிறுவல் சரியானது. சிக்கலான நாற்கரங்களுக்கு புள்ளி K, கோட்டுத்துண்டு AC இல் வெளிப்பக்கமாக அமையும். இதனால் AK−CK=±AC)

தொலெமியின் சமமின்மை

வட்டத்துக்குள் அமையாத ஒரு நாற்கரம்.

தொலமியின் தேற்றத்தில் தரப்பட்டுள்ள சமன்பாடு வட்டத்துக்குள் வரையப்படாத நாற்கரங்களுக்கு உண்மையாக இருக்காது. வட்ட நாற்கரத்துக்கு மட்டும் பொருந்தும் இச்சமன்பாடு பிற நாற்கரங்களுக்கும் பொருந்தும் சமனின்மையாக நீட்டிக்கப்பட்டு, தொலெமியின் சமனின்மை என அழைக்கப்படுகிறது.

ஒரு நாற்கரம் ABCD இல்,

{\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}

நாற்கரம் வட்ட நாற்கரமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, இந்தச் சமனின்மையின் சமக்குறி உண்மையாக இருக்கும்.

குறிப்புகள்

↑ C. Ptolemy, Almagest, Book 1, Chapter 10.
↑ Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem." பரணிடப்பட்டது 2017-12-15 at the வந்தவழி இயந்திரம் link verified 2009-04-08
↑ Proposition 8 in Book XIII of Euclid's Elements proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".
↑ And in analogous fashion Proposition 9 in Book XIII of Euclid's Elements proves by similar triangles that length c (the side of the decagon) divides the radius in "mean and extreme ratio".
↑ An interesting article on the construction of a regular pentagon and determination of side length can be found at the following reference [1]
↑ http://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?bibcode=1543droc.book.....C&db_key=AST&page_ind=36&plate_select=NO&data_type=GIF&type=SCREEN_GIF&classic=YES De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum

மேற்கோள்கள்

Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L.: "Ptolemy's Theorem and its Extensions." §2.6 in Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., pp. 42–43, 1967.
De Revolutionibus Orbium Coelestium, Copernicus, Nicolaus. English translation from On the Shoulders of Giants, Hawking, S 2002, Penguin Books. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-14-101571-3

வெளி இணைப்புகள்

Proof of Ptolemy's Theorem for Cyclic Quadrilateral
MathPages − On Ptolemy's Theorem
Elert, Glenn (1994). "Ptolemy's Table of Chords". E-World.
Ptolemy's Theorem at cut-the-knot
Compound angle proof at cut-the-knot
Ptolemy's Theorem பரணிடப்பட்டது 2011-07-24 at the வந்தவழி இயந்திரம் on PlanetMath
Ptolemy Inequality on MathWorld
De Revolutionibus Orbium Coelestium பரணிடப்பட்டது 2006-07-13 at the வந்தவழி இயந்திரம் at Harvard.
Deep Secrets: The Great Pyramid, the Golden Ratio and the Royal Cubit பரணிடப்பட்டது 2008-07-05 at the வந்தவழி இயந்திரம்
Ptolemy's Theorem by Jay Warendorff, The Wolfram Demonstrations Project.
Book XIII of Euclid's Elements

[1] C. Ptolemy, Almagest, Book 1, Chapter 10.

[wilson-2] Wilson, Jim. "Ptolemy's Theorem." பரணிடப்பட்டது 2017-12-15 at the வந்தவழி இயந்திரம் link verified 2009-04-08

[3] Proposition 8 in Book XIII of Euclid's Elements proves by similar triangles the same result: namely that length a (the side of the pentagon) divides length b (joining alternate vertices of the pentagon) in "mean and extreme ratio".

[4] And in analogous fashion Proposition 9 in Book XIII of Euclid's Elements proves by similar triangles that length c (the side of the decagon) divides the radius in "mean and extreme ratio".

[5] An interesting article on the construction of a regular pentagon and determination of side length can be found at the following reference [1]

[6] ttp://articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-iarticle_query?bibcode=1543droc.book.....C&db_key=AST&page_ind=36&plate_select=NO&data_type=GIF&type=SCREEN_GIF&classic=YES De Revolutionibus Orbium Coelestium: Liber Primus: Theorema Primum

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]