தன்னடுக்கு அணி
இயற்கணிதத்தில் தன்னடுக்கு அணி (idempotent matrix) என்பது தனக்குத்தானே பெருக்கப்படும்போது அதே அணியே விடையாகக் கிடைக்கும் அணியாகும்.[1][2] MM = M என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, M ஒரு தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும். MM வரையறுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டுமானால் M ஒரு சதுர அணியாக இருக்க வேண்டும்.
எடுத்துக்காட்டு
தொகுதன்னடுக்கு அணி:
தன்னடுக்கு அணி:
2 × 2 மெய்யெண்கள் அணி
தொகுஎன்பது ஒரு தன்னடுக்கு அணி எனில்:
- இதனை என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு அல்லது
- இதனை என எழுதக் கிடைக்கும் முடிவு அல்லது
எனவே ஒரு 2 × 2 அணியானது மூலைவிட்ட அணியாக அல்லது அதன் சுவட்டின் மதிப்பு 1 ஆக இருக்கவேண்டியது அவ்வணி ஒருதன்னடுக்கு அணியாக இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாகும். எனவே ஒரு 2 × 2 மூலைவிட்ட அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருந்தால் , இரண்டின் மதிப்புகளும் 1 அல்லது 0 ஆக இருக்கும்.
b = c ஆக இருக்கும்போது அணியானது தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கவேண்டுமானால் என இருக்கவேண்டும். இதிலிருந்து a ஆனது பின்வரும் இருபடிச் சமன்பாட்டை நிறைவு செய்யும்.
- or
இச்சமன்பாடு ஒரு வட்டத்தைக் குறிக்கும். இவ்வட்டத்தின் மையம் (1/2, 0); ஆரம் 1/2.
- ஒரு தன்னடுக்கு அணி.
எனினும் b = c என்பது தன்னடுக்கு அணிக்கான தேவையான கட்டுப்பாடு அல்ல; எனக் கொண்ட எந்தவொரு அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.
பண்புகள்
தொகு- முற்றொருமை அணி தவிர வேறெந்தவொரு தன்னடுக்கு அணியும் வழுவுள்ள அணியாகும்.
- முற்றொருமை அணியிலிருந்து ஒரு தன்னடுக்கு அணியைக் கழித்துப் பெறப்படும் அணியும் தன்னடுக்கு அணியாக இருக்கும்.
- [I − M][I − M] = I − M − M + M2 = I − M − M + M = I − M.
- அனைத்து இயல் எண்கள் n களுக்கும் என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ஒரு தன்னடுக்கு அணியாகும்.
- தன்னடுக்கு அணியின் ஐகென் மதிப்புகள் 0 அல்லது 1 ஆக இருக்கும்.[3] தன்னடுக்கு அணியின் சுவட்டின் (முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளின் கூடுதல்) அந்த அணியின் தரத்திற்குச் சமமாக இருக்கும். மேலும் இதனால் சுவடின் மதிப்பு முழு எண்ணாக இருக்கும்.
மேற்கோள்கள்
தொகு- ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental Methods of Mathematical Economics (3rd ed.). New York: McGraw–Hill. p. 80. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0070108137.
- ↑ Greene, William H. (2003). Econometric Analysis (5th ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice–Hall. pp. 808–809. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0130661899.
- ↑ Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix analysis. Cambridge University Press. p. p. 148. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0521386322.