நியூட்டனின் தேற்றம் (நாற்கரம்)

யூக்ளீடிய வடிவவியலில் நியூட்டனின் தேற்றப்படி (Newton's theorem), சாய்சதுரம் தவிர்த்த பிற தொடுகோட்டு நாற்கரம் ஒவ்வொன்றின் உள்வட்டமையமும் அந்தந்த நாற்கரத்தின் நியூட்டன் கோட்டின் மீதமையும்.

உள்வட்ட மையம் (P), நியூட்டன் கோடு EF இன் மீதுள்ளது

ABCD என்பது அதிகபட்சமாக இரு இணைபக்கங்கள் கொண்ட தொடுநாற்கரம்; அதன் மூலைவிட்டங்களின் (AC, BD) நடுப்புள்ளிகள் E, F. நாற்கரத்தின் உள்வட்ட மையம் P எனில், அப்புள்ளி நியூட்டன் கோட்டின் (EF) மீது அமையும்.

இரு சோடி இணைபக்கங்களுடைய தொடுநாற்கரம் சாய்சதுரமாக இருக்கும். சாய்சதுரத்தின் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளும் உள்வட்ட மையமும் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே சாய்சதுரத்திற்கு நியூட்டன் கோடு இல்லை.

நிறுவல்

நியூட்டனின் தேற்றத்தை பீட்டோ தேற்றத்தையும் ஆனியின் தேற்றத்தையும் பயன்படுத்தி நிறுவலாம்.

பைலட்டுத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தொடுநாற்கரத்தின் எதிர் சோடிப்பக்கங்களின் நீளங்களின் கூட்டுத்தொகைகள் சமம் என்பதால் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டத் தொடுநாற்கரத்திற்கு:

a + c = b + d

உள்வட்ட ஆரம் r என்க. PAD, PBC, PAB, PCD ஆகிய நான்கு முக்கோணங்களுக்கும் r ஆனது செங்குத்து உயரமாக இருக்கும்.

${\begin{aligned}&A(\triangle PAB)+A(\triangle PCD)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}ra+{\tfrac {1}{2}}rc={\tfrac {1}{2}}r(a+c)\\[5pt]={}&{\tfrac {1}{2}}r(b+d)={\tfrac {1}{2}}rb+{\tfrac {1}{2}}rd\\[5pt]={}&A(\triangle PBC)+A(\triangle PAD)\end{aligned}}$

அதாவது, எதிரெதிர் முக்கோணங்கள் PAD, PBC இரண்டின் மொத்தப் பரப்பளவும், அடுத்த சோடி எதிர்முக்கோணங்கள் PAB, PCD இன் மொத்தப் பரப்பளவும் சமம். எனவே ஆனியின் தேற்றப்படி, P புள்ளியானது (உள்வட்டம்), EF கோட்டின் (நியூட்டன் கோடு) மீதமையும்.

மேற்கோள்கள்

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA, 2010, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780883853481, pp. 117–118 (online copy, p. 117, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளியிணைப்புகள்

• Newton’s and Léon Anne’s Theorems at cut-the-knot.org