பாசுக்கலின் வாய்பாடு

கணிதத்தில் பாசுக்கலின் வாய்பாடு அல்லது பாசுக்கலின் விதி (Pascal's rule அல்லது Pascal's formula) என்பது ஈருறுப்புக் குணகங்கள் பற்றியதொரு சேர்வியல் முற்றொருமையாகும்.

பாசுக்கலின் விதி:

${n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}={n \choose k},$ (n , k இயல் எண்கள்)

இதில் ${\tbinom {n}{k}}$ ஒரு ஈருறுப்புக் குணகம்; இந்த ஈருறுப்புக் குணகமானது (1 + x)ⁿ -இன் பல்லுறுப்புக்க்கோவை விரிவிலுள்ள x^k உறுப்பின் குணகமாகும். n மற்றும் k ஆகிய இரண்டின் சார்மதிப்புகளுக்கு கட்டுப்பாடு எதுவும் இல்லை. ஏனெனில் n < k இருந்தால் இந்த ஈருறுப்புக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாகி, இந்நிலையிலும் பாசுக்கலின் வாய்பாடு உண்மையாகும்.

"${\frac {(x+y)!}{x!y!}}={x+y \choose x}={x+y \choose y}$ என்ற வாய்பாடானது, இயல் எண்களில்

$N_{x,y}=N_{x-1,y}+N_{x,y-1},\quad N_{0,y}=N_{x,0}=1$ என்ற நேரியல் இருபரிமாண வேறுபாட்டுச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்"

என்ற கூற்றாகவும் பாசுக்கலின் விதியைக் கருதலாம். இதனால் பாசுக்கலின் முக்கோணத்திலுள்ள எண்களுக்கான வாய்பாடு பற்றிய கூற்றாகவும் இவ்விதியுள்ளது.

இவ்விதியினை பல்லுறுப்புக் கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம்.

சேர்வியல் நிறுவல்

பாசுக்கலின் விதிக்குள்ள இயல்புணர்வான சேர்வியல் பண்பினைக் கீழுள்ள எண்ணுதல் நிறுவலில் காணலாம் இந்த நிறுவல் முறையில் ${\tbinom {n}{k}}$ ஆனது n உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு கணத்திலிருந்து தேர்வுசெய்யப்படும் k உறுப்புகளைக் கொண்ட உட்கணங்களின் எண்ணிக்கைக்குச் சமம் என்ற கூற்றிலிருந்து பாசுக்கலின் விதி நிறுவப்படுகிறது:

நிறுவல்:

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் கணத்தின் n உறுப்புகளில் குறிப்பிட்டதொரு உறுப்பு X எனில்,

• X உட்பட்ட k உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:

X நீங்கலான மீதமுள்ள n − 1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான k − 1 உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

${\tbinom {n-1}{k-1}}$.

• X நீங்கலாக k உறுப்புகள் கொண்ட உட்கணங்களைத் தேர்வு செய்யும் வழிகள்:

X நீங்கலான மீதமுள்ள n − 1 உறுப்புகளிலிருந்து தேவையான k உறுப்புகள் தேர்வு செய்யப்பட வேண்டும். இவ்வகையான உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

${\tbinom {n-1}{k}}$

இவை இரண்டிலிருந்து k உறுப்புகள் கொண்ட (X உட்பட்ட மற்றும் நீங்கலான) மொத்த உட்கணங்களின் எண்ணிக்கை:

${\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}$.

எனவே

${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k-1}}+{\tbinom {n-1}{k}}$.

இயற்கணித நிறுவல்

பாசுக்கலின் விதி இயற்கணித முறையில் பின்வருமாறு நிறுவப்படுகிறது:

${\begin{aligned}{n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}&={\frac {(n-1)!}{k!(n-1-k)!}}+{\frac {(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}}\\&=(n-1)!\left[{\frac {n-k}{k!(n-k)!}}+{\frac {k}{k!(n-k)!}}\right]\\&=(n-1)!{\frac {n}{k!(n-k)!}}\\&={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\\&={\binom {n}{k}}.\end{aligned}}$

பொதுமைப்படுத்தல்

பாசுக்கலின் விதியைப் பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கும் பொதுமைப்படுத்தலாம். p ஏதேனுமொரு முழு எண் மற்றும் $p\geq 2$, $k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,$ மேலும் $n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1$ எனில், பல்லுறுப்புக்கெழுக்களுக்கான பாசுக்கலின் விதி:

${n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}$

இதில் ${n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}$ ஆனது $(x_{1}+x_{2}+\dots +x_{p})^{n}$ விரிவிலுள்ள $x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\dots x_{p}^{k_{p}}$ உறுப்பின் கெழுவாகும்.

இவ்விதியின் இயற்கணிதமுறை நிறுவல்:

p ஒரு முழு எண் மற்றும் $p\geq 2$, $k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}\in \mathbb {N} ^{+}\!,$ மேலும் $n=k_{1}+k_{2}+k_{3}+\cdots +k_{p}\geq 1$ எனில்,

${\begin{aligned}&{}\quad {n-1 \choose k_{1}-1,k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}+{n-1 \choose k_{1},k_{2}-1,k_{3},\dots ,k_{p}}+\cdots +{n-1 \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}-1}\\&={\frac {(n-1)!}{(k_{1}-1)!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {(n-1)!}{k_{1}!(k_{2}-1)!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots (k_{p}-1)!}}\\&={\frac {k_{1}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+{\frac {k_{2}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}+\cdots +{\frac {k_{p}(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {(k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{p})(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}\\&={\frac {n(n-1)!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!k_{3}!\cdots k_{p}!}}={n \choose k_{1},k_{2},k_{3},\dots ,k_{p}}.\end{aligned}}$

நூலடைவு

• Merris, Russell. Combinatorics. John Wiley & Sons. 2003 பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-471-26296-1

வெளியிணைப்புகள்

• Central binomial coefficient பிளாநெட்மேத்தில்
• Binomial coefficient பிளாநெட்மேத்தில்