பாதுகாப்பான பகாத்தனி

பாதுகாப்பான பகாத்தனி (safe prime) என்பது 2p + 1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்க பகா எண். இதில் உள்ள p என்பதும் ஒரு பகாத்தனியாக இருத்தல் வேண்டும். இவ் வடிவில் இருந்தால், இதில் உள்ள p என்னும் பகா எண், ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஆகும். எடுத்துக்காட்டாக 11 என்பது ஒரு பகா எண் என்பதால், 2 ×11 + 1 = 23 என்பதில் 23 என்பதும் பகா எண் ஆகையால் அது ஒரு பாதுகாப்பான பகாத்தனி என அழைக்கப்படும். 11 என்பதும் பகாத்தனி என்பதால் அது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி ஆகும். ஆனால் p என்பது பகாத்தனியாக இருந்த பொழுதும், 2p + 1 வடிவில் உள்ள எல்லா எண்களும் பகாத்தனியாக இருப்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக 7 என்பது ஒரு பகாத்தனி ஆனால் 2 ×7 + 1 = 15 என்பதில் 15 என்னும் எண் பகாத்தனி அல்ல. அது ஒரு கலப்பு எண் (வகுபடும் எண்) (3x5 = 15). முதல் சில பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள்:

5, 7, 11, 23, 47, 59, 83, 107, 167, 179, 227, 263, 347, 359, 383, 467, 479, 503, 563, 587, 719, 839, 863, 887, 983, 1019, 1187, 1283, 1307, 1319, 1367, 1439, 1487, 1523, 1619, 1823, 1907. (OEIS-இல் வரிசை A005385)

7 எண்ணைத் தவிர்த்து, q என்னும் மற்ற எல்லா மாதுகாப்பான பகாத்தனிகளையும் 6k−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம் , மாற்றாக q ≡ 5 (mod 6) — அதே போல p > 3 . அதே போல 5 ஐத் தவிர்த்து, q என்னும் உறுதிப் பகாத்தனியை 4k−1 என்னும் வடிவில் எழுதலாம், அல்லது மாற்றீடாக, q ≡ 3 (mod 4) — உண்மை ஏனெனில் (q−1) / 2 என்பது ஒரு ஒற்றைப் படை இயல் எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். இவ்விரண்டு வடிவங்களையும் சேர்த்துப் பார்த்தால் அவற்றின் பொது மடங்குகளுக்குள் சிறிய எண் (6,4)ஐக் கொண்டு q > 7 என்னும் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் 12k−1 என்னும் வடிவில் எழுதத்தக்கதாகவோ, q ≡ 11 (mod 12 ) ஆகவோ இருக்கும். .

இந்த பகாத்தனிகள் பாதுகாப்பான பகாத்தனிகள் என்று அழைப்பதற்கு காரணம் இவை உறுதிப் பகாத்தனிகள் எண்களுடன் நெருங்கிய உறவுடையன. q என்பது உறுதிப் பகாத்தனியாக இருந்தால் q+1 மற்றும் q−1 ஆகிய இரண்டும் பெரிய (நீளமான) பகா எண் காரணிகள் கொண்டிருக்கும். இக்கருத்து மறைமுகமாகவோ, கமுக்கமாகவோ செய்திகளை பரிமாறிக் கொள்ளும் கலையாகிய மறைவரைவு (கிரிப்டோகிராஃவி, Cryptography) தொழில்நுட்பத்தில் மிகவும் முக்கியமான ஒன்று. q என்னும் எண்ணை, எண்காரணிகளாக ( integer factorization) பிரிப்பதில் செலவாகும் கணினி நேரம், q−1 என்னும் எண்ணின் பகா எண் காரணியின் அளவை (நீளத்தை) ஓரளவுக்குப் பொறுத்தது. பொல்லார்டு ரோ படித்தீர்முறை T(Pollard's rho algorithm) +1 மற்றும் −1 முறைகளில் இது உண்மை. திறன் மிக்க பெரும்பாலான எண்காரணிப்பாட்டில் q−1 இன் பகா எண் காரணிகளின் அளவு முக்கியம் இல்லை என்றாலும், இது பொதுவாக மறைவரை முறைகளில் முக்கியமாகக் கருதப்படுகின்றது. எடுத்துக்காட்டாக ஆனசிX9.31 (ANSI X9.31) நெறி முறையில் RSA -மாடுலியில் (moduli) உறுதிப் பகாத்தனிகள் பயன்படுத்த வேண்டும் என்னும் வலியுறுத்தல் உள்ளது.

ஜனவரி 2007 வரையிலும் கண்டுபிடித்த மிகப்பெரிய பாதுகாப்பான பகா எண் 48047305725×2¹⁷²⁴⁰⁴−1.இந்த பாதுகாப்பான பகாத்தனியையும், அதற்கான மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியையும் டேவிட் அண்டர்பக்கெ என்பவர் ஜனவரி 25, 2007 அன்று டுவின்ஜென் மற்றும் எல் எல் ஆர் (TwinGen and LLR) என்னும் நிரலிகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டுபிடித்தார். TwinGen and LLR. [1]

உசாத்துணை

• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds., Handbook of Mathematical Functions, National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, Tenth Printing, (1972): 870

வெளியிணைப்புகள்

• Safe prime பரணிடப்பட்டது 2013-02-13 at the வந்தவழி இயந்திரம் at planetmath.org