சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி

எண்கோட்பாட்டில் p என்பது ஒரு பகாத்தனி (பகா எண்) என்றால், அதன் இருமடங்கு கூட்டல் ஒன்று (2p + 1) என்னும் எண்ணும் பகாத்தனியாக இருந்தால் அந்த p என்னும் பகா எண் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி (Sophie Germain prime) என்று அழைக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக 29 என்னும் எண் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி; ஏன் என்றால், 29 என்னும் எண் ஒரு பகாத்தனியாக இருப்பது மட்டுமல்லாமல் 2 × 29 + 1 = 59 என்று கணக்கிடும் பொழுது 59 என்னும் எண்ணும் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்கின்றது. ஆகவே 29 என்பது ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி. இவ்வகை பகாத்தனிகளுக்கு இப்பெயர் பிரான்சிய பெண்பால் கணிதவியலாளர் மாரி-சோஃவி ஜெர்மேன் (Marie-Sophie Germain) (1776–1831)என்பவரின் பெயரை ஒட்டி சூட்டப்பட்டது.

ஒரு பகா எண்னை 2p+1 என்று எழுத முடிந்தால், அந்த p என்பதும் பகா எண்ணாக இருந்தால், 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எண்ணைப் பாதுகாப்பான பகாத்தனி (safe prime) என்பர். இதில் p என்பது சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி என்பதால் பாதுகாப்பான பகாத்தனியும் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியும் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. 2p+1 என்று எழுதத்தக்க எல்லா எண்களும் பகாத்தனிகள் அல்ல. எ.கா: 2 ×4 + 1 = 9 என்பது ஒரு பகு எண் (3 ×3 = 9)

ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி p > 3 என்பது 6k−1 என்னும் வடிவில் உள்ள எண், மாற்று வழியில் கூறுவதென்றால் p ≡ 5 (mod 6) - இது 2p+1 என்று எழுதப்பெறும் பாதுகாப்பான பகாத்தனியுடன் ஒத்துள்ளது. இன்னும் வேறு ஒரு வடிவில், பகாத்தனி p > 3 என்றால் 6k+1 என்பதும் p ≡ 1 (mod 6), 3|(2p+1) - இப்படியாக சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி புலத்தில் சேராத p விலக்கிவிடுகின்றது. இதனை மாடுலோ கணிதத்துறை வழி நிறுவலாம்.

இந்த சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் எண்ணிக்கையில் முடிவிலியாக இருக்க வேண்டும் என்பது ஒரு நிறுவப்படாத ஊகம். முதல் சில சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன:

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233, … (OEIS-இல் வரிசை A005384)

.

அறிந்தவற்றுள் மிகப்பெரிய சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனி: 48047305725 × 2¹⁷²⁴⁰³−1. இதில் 51910 பதின்ம (தசம) இலக்கங்கள் உள்ளன.. இதனை டேவிட் அண்டர்பக்கெ (David Underbakke) ஜனவரி 25, 2007 இல், டுவின்ஜென் (TwinGen ) மற்றும் எல் எல் ஆர் (LLR) என்னும் நிரலிகளைக் கொண்டு நிறுவினார் [1] இதற்கு முன் இருந்த பெரிய எண் பதிவு 137211941292195 × 2¹⁷¹⁹⁶⁰−1; இது 51780 பதின்ம இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தது. இதனை யராய் என்பவரும் மற்றவர்களும் மே 3, 2006இல் கண்டுபிடித்தனர் [2].

தோராயக் கணக்கீடு

n என்னும் எண்ணைவிட சிறியனவாக உள்ள எண்களில் எத்தனை எண்கள் சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகளாக இருக்கும் என்று ஒரு தோராயக் கணக்கீட்டை ஜி. எச். ஹார்டி மற்றும் ஜே. இ. லிட்டில்வுட் (G. H. Hardy and J. E. Littlewood) ஆகியோர் அளித்தனர். அவ் மதிப்ப்பீடு, 2C₂ n / (ln n)² என்பதாகும் இதில் C₂ என்பது இரட்டைப் பகாத்தனி நிலைஎண், சற்றேறக்குறைய 0.660161. n = 10⁴ என்றால், இந்த தோராய மதிப்பீடு 156 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருப்பதாகக் கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் மொத்தம் 190 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் உள்ளன. எனவே இதன் பிழையளவு 20%. n = 10⁷ என்று எடுத்துக்கொண்டால். இந்த தோராய மதிப்பீடு 50822 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள் இருக்க வேண்டும் என்று கூறுகின்றது, ஆனால் உண்மையில் 56032 எண்கள் உள்ளன. எனவே பிழை 10%.

1 முதல் 10,000 வரையிலும் உள்ள இயல் எண்களில் உள்ள 190 சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனிகள்

2	3	5	11	23	29	41	53	83	89	113	131
173	179	191	233	239	251	281	293	359	419	431	443
491	509	593	641	653	659	683	719	743	761	809	911
953	1013	1019	1031	1049	1103	1223	1229	1289	1409	1439	1451
1481	1499	1511	1559	1583	1601	1733	1811	1889	1901	1931	1973
2003	2039	2063	2069	2129	2141	2273	2339	2351	2393	2399	2459
2543	2549	2693	2699	2741	2753	2819	2903	2939	2963	2969	3023
3299	3329	3359	3389	3413	3449	3491	3539	3593	3623	3761	3779
3803	3821	3851	3863	3911	4019	4073	4211	4271	4349	4373	4391
4409	4481	4733	4793	4871	4919	4943	5003	5039	5051	5081	5171
5231	5279	5303	5333	5399	5441	5501	5639	5711	5741	5849	5903
6053	6101	6113	6131	6173	6263	6269	6323	6329	6449	6491	6521
6551	6563	6581	6761	6899	6983	7043	7079	7103	7121	7151	7193
7211	7349	7433	7541	7643	7649	7691	7823	7841	7883	7901	8069
8093	8111	8243	8273	8513	8663	8693	8741	8951	8969	9029	9059
9221	9293	9371	9419	9473	9479	9539	9629	9689	9791

பயன்பாடுகள்

சோஃவி ஹெர்மேன் பகாத்தனிகள், ஒன்றுக்கொன்று தொடர்பில்லாமல் வரும் எண் வரிசைத்தொடர்கள் வகைகளில் சிலவற்றை உருவாக்கப் பயன்படுகின்றது. போலி அல்லது அரைகுரை சீருறா எண்தொடர் ஆக்கிகளில் இது பயன்படுகின்றது. q என்னும் ஓர் பாதுகாப்பான பகாத்தனி, p என்னும் ஒரு சோஃவி ஜெர்மேன் பகாத்தனியால் உருவாகி இருந்து, p என்பது 3, 9, அல்லது 11 (mod 20) ஆகியவற்றுடன் முற்றீடு மீதகமாக இருந்தால், 1/q என்னும் பதின்ம வகுத்தல் q−1 இலக்கங்களை அரைகுறையான சீருறா வரிசையில் தரும். இதற்கு ஏற்ற பகாத்தனிகள் (q): 7, 23, 47, 59, 167, 179, .. முதலியன ஆகும். (தொடர்புடைய p = 3, 11, 23, 29, 83, 89, etc.). இதன் விளைவு q−1 இலக்கங்கள் நீளமுடைய (முன் நிற்கும் சுழிகள் உட்பட) வரிசையாகும். எடுத்துக்காட்டாக q = 23 என்பது கீழ்க்காணும் அரைகுறையான சீருறா எண் வரிசையைத் தருகின்றது: 0, 4, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 0, 8, 6, 9, 5, 6, 5, 2, 1, 7, 3, 9, 1, 3. இந்த எண்கள் மறைமுகமாகவோ, கமுக்கமாகவோ, செய்திகளை அனுப்பத் தேவையான அளவு போதிய மறைவரைவுத் தன்மை அல்லது ஒளிவுத்தமை (cryptographic properties) கொண்டதல்ல.

மேற்கோள்கள்

• Maximally Periodic Reciprocals, R.A.J. Matthews (1992). Bulletin of the Institute of Mathematics and its Applications; vol 28 pp 147-148.

வெளி இணைப்புகள்

• The Top Twenty Sophie Germain Primes — from the Prime Pages.