கணிதத்தில் பிழைச் சார்பு அல்லது காஸ் பிழைச் சார்பு (error function , Gauss error function ) என்பது நிகழ்தகவு , புள்ளியியல் பகுதிவகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் ஆகிய பிரிவுகளில் காணப்படும் ஒரு சிறப்புச் சார்பு ஆகும். இது கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது[ 1] [ 2]
பிழைச் சார்பின் வரைபடம் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erf ) :
erf
(
x
)
=
2
π
∫
0
x
e
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}
நிரப்புப் பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erfc ) :
erfc
(
x
)
=
1
−
erf
(
x
)
=
2
π
∫
x
∞
e
−
t
2
d
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&=1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}
கற்பனை பிழைச் சார்பு (குறியீடு: erfi ) :
erfi
(
z
)
=
−
i
erf
(
i
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {erfi} (z)=-i\,\,\operatorname {erf} (i\,z).}
Φ
{\displaystyle \Phi }
[ 2]
Φ
(
x
)
=
1
2
+
1
2
erf
(
x
/
2
)
.
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left(x/{\sqrt {2}}\right).}
x இன் நேர் மதிப்புகளுக்கு, ஒரு அளவீடானது, திட்ட விலக்கம்
σ
{\displaystyle \sigma }
இயல்நிலைப் பரவலாக அமையும் பிழைகளின் தாக்கத்தால் அதன் சராசரி மதிப்பிலிருந்து x க்கும் குறைவான தொலைவிலிருக்கும் என்ற நிகழ்தகவின் மதிப்பை,
x
σ
2
{\displaystyle {\frac {x}{\sigma {\sqrt {2}}}}}
[ 3]
தொகையிடப்படும் சார்பு (Integrand): exp(−z 2 )
erf
(
z
¯
)
=
erf
(
z
)
¯
{\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}
இதில் z இன் இணையியச் சிக்கலெண்
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் ƒ = exp(−z 2 )மற்றும் ƒ = erf(z ) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான z -தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.
Im(ƒ ) = 0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
Im(ƒ ) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும்
Im(f ) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
இடைப்பட்ட Im(ƒ ) = மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
இடைப்பட்ட Re(ƒ ) = மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன. மெய் அச்சில் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, z → +∞ எனில் 1 ஐயும், z → −∞ எனில் −1 ஐயும் erf(z ) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.
erf
(
−
z
)
=
−
erf
(
z
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
n
!
(
2
n
+
1
)
=
2
π
(
z
−
z
3
3
+
z
5
10
−
z
7
42
+
z
9
216
−
⋯
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:
erf
(
z
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
(
z
∏
k
=
1
n
−
(
2
k
−
1
)
z
2
k
(
2
k
+
1
)
)
=
2
π
∑
n
=
0
∞
z
2
n
+
1
∏
k
=
1
n
−
z
2
k
{\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}
+∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1
d
d
z
e
r
f
(
z
)
=
2
π
e
−
z
2
.
{\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}
பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு ):
z
erf
(
z
)
+
e
−
z
2
π
.
{\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}
நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:
erf
−
1
(
z
)
=
∑
k
=
0
∞
c
k
2
k
+
1
(
π
2
z
)
2
k
+
1
,
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!}
c 0 = 1 மற்றும்
c
k
=
∑
m
=
0
k
−
1
c
m
c
k
−
1
−
m
(
m
+
1
)
(
2
m
+
1
)
=
{
1
,
1
,
7
6
,
127
90
,
4369
2520
,
…
}
.
{\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.}
erf
−
1
(
z
)
=
1
2
π
(
z
+
π
12
z
3
+
7
π
2
480
z
5
+
127
π
3
40320
z
7
+
4369
π
4
5806080
z
9
+
34807
π
5
182476800
z
11
+
⋯
)
.
{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\ }
நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:
erfc
−
1
(
1
−
z
)
=
erf
−
1
(
z
)
.
{\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}
நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion): x இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,
e
r
f
c
(
x
)
=
e
−
x
2
x
π
[
1
+
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
1
⋅
3
⋅
5
⋯
(
2
n
−
1
)
(
2
x
2
)
n
]
=
e
−
x
2
x
π
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
(
2
n
−
1
)
!
!
(
2
x
2
)
n
,
{\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,}
(2n – 1)!! என்பது (2n – 1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம் .
நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:[ 4]
e
r
f
c
(
z
)
=
z
π
e
−
z
2
a
1
z
2
+
a
2
1
+
a
3
z
2
+
a
4
1
+
⋯
a
1
=
1
,
a
m
=
m
−
1
2
,
m
≥
2.
{\displaystyle \mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{1}=1,\quad a_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.}
தொகு
x
erf(x)
erfc(x)
x
erf(x)
erfc(x)
0.00
0.0000000
1.0000000
1.30
0.9340079
0.0659921
0.05
0.0563720
0.9436280
1.40
0.9522851
0.0477149
0.10
0.1124629
0.8875371
1.50
0.9661051
0.0338949
0.15
0.1679960
0.8320040
1.60
0.9763484
0.0236516
0.20
0.2227026
0.7772974
1.70
0.9837905
0.0162095
0.25
0.2763264
0.7236736
1.80
0.9890905
0.0109095
0.30
0.3286268
0.6713732
1.90
0.9927904
0.0072096
0.35
0.3793821
0.6206179
2.00
0.9953223
0.0046777
0.40
0.4283924
0.5716076
2.10
0.9970205
0.0029795
0.45
0.4754817
0.5245183
2.20
0.9981372
0.0018628
0.50
0.5204999
0.4795001
2.30
0.9988568
0.0011432
0.55
0.5633234
0.4366766
2.40
0.9993115
0.0006885
0.60
0.6038561
0.3961439
2.50
0.9995930
0.0004070
0.65
0.6420293
0.3579707
2.60
0.9997640
0.0002360
0.70
0.6778012
0.3221988
2.70
0.9998657
0.0001343
0.75
0.7111556
0.2888444
2.80
0.9999250
0.0000750
0.80
0.7421010
0.2578990
2.90
0.9999589
0.0000411
0.85
0.7706681
0.2293319
3.00
0.9999779
0.0000221
0.90
0.7969082
0.2030918
3.10
0.9999884
0.0000116
0.95
0.8208908
0.1791092
3.20
0.9999940
0.0000060
1.00
0.8427008
0.1572992
3.30
0.9999969
0.0000031
1.10
0.8802051
0.1197949
3.40
0.9999985
0.0000015
1.20
0.9103140
0.0896860
3.50
0.9999993
0.0000007
x
erfc(x)/2
1
7.86496e−2
2
2.33887e−3
3
1.10452e−5
4
7.70863e−9
5
7.6873e−13
6
1.07599e−17
7
2.09191e−23
8
5.61215e−30
9
2.06852e−37
10
1.04424e−45
11
7.20433e−55
12
6.78131e−65
13
8.69779e−76
14
1.51861e−87
15
3.6065e−100
16
1.16424e−113
17
5.10614e−128
18
3.04118e−143
19
2.45886e−159
20
2.69793e−176
21
4.01623e−194
22
8.10953e−213
23
2.22063e−232
24
8.24491e−253
25
4.15009e−274
26
2.8316e−296
27
2.61855e−319
↑ Andrews, Larry C.; Special functions of mathematics for engineers
↑ 2.0 2.1 Greene, William H.; Econometric Analysis (fifth edition), Prentice-Hall, 1993, p. 926, fn. 11
↑ Van Zeghbroeck, Bart; Principles of Semiconductor Devices , University of Colorado, 2011. [1] பரணிடப்பட்டது 2013-11-02 at the வந்தவழி இயந்திரம்
↑ Cuyt, Annie A. M.; Petersen, Vigdis B.; Verdonk, Brigitte; Waadeland, Haakon; Jones, William B. (2008). Handbook of Continued Fractions for Special Functions . Springer-Verlag . பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1-4020-6948-2
![{\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/802266cbf19574e452c0f388f9585fbb5d831064)
![{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c1d0724a58c2d7643ac79237496d4f6de3b1e9a)
