பெர்னூலியின் முக்கோணம்

பெர்னூலியின் முக்கோணம் (Bernoulli's triangle) என்பது ஈருறுப்புக் குணகங்களின் பகுதிக்கூட்டுத்தொகைகளாலான வரிசைகளைக்கொண்ட ஒரு முக்கோணவடிவ அமைப்பாகும். n ஒரு எதிர்மமில்லா முழுவெண்; k, பூச்சியத்திற்கும் n க்கும் இடைப்பட்ட ஏதாவதொரு முழுவெண் எனில், பெர்னூலி முக்கோணத்தின் n ஆவது நிரை மற்றும் k ஆவது நிரலில் அமையும் உறுப்பு கீழுள்ளதாக இருக்கும்:

பாஸ்கலின் முக்கோணத்திலிருந்து (இளஞ்சிவப்பு சாய்வெழுத்துகள்) பெர்னூலியின் முக்கோணத்தை (தடித்த நீல எழுத்துகள்) வருவித்தல்.

$\sum _{p=0}^{k}{n \choose p},$

n +1 என்ற நேர்ம முழுவெண்ணை k +1 வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவினைகளாக எழுதக்கூடிய தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை பாஸ்கலின் முக்கோணத்தைத் தருகிறது. அதைப்போலவே n +1 என்ற நேர்ம முழுவெண்ணை k +1 அல்லது அதற்கும் குறைந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவினைகளாக எழுதக்கூடிய தொகுப்புகளின் எண்ணிக்கை பெர்னூலியின் மூக்கோணத்தைத் தரும்.

அதாவது, n ஆவது வரிசையிலுள்ள முதல் k உறுப்புகளின் கூடுதலாக இருக்கும். பெர்னூலியின் முக்கோணத்தின் துவக்கத்திலமையும் சில வரிசைகள்:

${\begin{array}{cc|cccccc}&k&0&1&2&3&4&5\\n&&\\\hline 0&&1\\1&&1&2\\2&&1&3&4\\3&&1&4&7&8\\4&&1&5&11&15&16\\5&&1&6&16&26&31&32\end{array}}$

பாஸ்கலின் முக்கோணம் போலவே பெர்னூலியின் முக்கோணத்திலும் ஒரு வரிசையிலுள்ள ஒரு உறுப்பானது அதற்கு முந்தைய வரிசையின் இரு உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகையாக அமையும். ஆனால் இவ்விதி, வரிசையின் இறுதி உறுப்புக்குப் பொருந்தாது. இறுதி உறுப்பானது, அதற்கு முந்தைய வரிசையின் இறுதி உறுப்பைப் போல இருமடங்காக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, $B_{n,k}$ என்பது n வரிசை மற்றும் k நிரலிலுள்ள உறுப்பு எனில்:

$B_{n,k}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\B_{n-1,k}+B_{n-1,k-1}&{\mbox{if }}k<n\\2B_{n-1,k-1}=2^{n}&{\mbox{if }}k=n\end{cases}}$

பெர்னூலியின் முக்கோணத்திலிருந்து பெறப்பட்ட தொடர்வரிசைகள்

பெர்னூலியின் முக்கோணத்திலிருந்து பெறப்பட்ட நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியத்தில் உள்ள தொடர்வரிசைகள்

• பாஸ்கலின் முக்கோணம் மற்றும் அதைப்போன்ற உருவாக்கப்பட்ட எண் முக்கோணங்களைப் போலவே, பெர்னூலியின் முக்கோணத்திலும் மூலைவிட்டப் பாதையிலமையும் உறுப்புகளின் கூட்டுத்தொகைகளானது பிபொனாச்சி எண்களாக இருக்கும்.

• பெர்னூலியின் முக்கோணத்தின் மூன்றாவது நிரல் (k = 2), ஒரு முக்கோண எண் + 1 ஆக இருக்குமென்பதால், அந்நிரலானது n வெட்டுக்களுக்கான சோம்பேறி உணவுவழங்குவோனின் தொடர்வரிசையாக இருக்கும் (n ≥ 2).

• நான்காவது நிரல் (k = 3), n வெட்டுக்களுக்கான அணிச்சல் எண்களின் தொடர்வரிசையாக இருக்கும் (n ≥ 3).

• ஐந்தாவது நிரல் (k = 4), n + 1 புள்ளிகளுக்கு ஒரு வட்டத்தைப் பிரிக்கக்கூடிய அதிகபட்சப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது (n ≥ 4).

• பொதுவாக, (k + 1) வது நிரலானது, (k − 1)-பரிமாண (n − 1) மீத்தளங்களால், k-பரிமாண வெளியில் உருவாகும் பகுதிகளின் அதிகபட்சப் பகுதிகளின் எண்ணிக்கையைத் தரும் ( n ≥ k)

• மேலும் இந்நிரலானது,n + 1 என்ற நேர்ம முழுவெண்ணின் k + 1 அல்லது அதற்கும் குறைந்த வரிசைப்படுத்தப்பட்ட பிரிவினைகளைக் கொண்ட தொகுப்புகளின் என்ணிக்கையைத் தரும்.

வெளியிணைப்புகள்

• பெர்னூலியின் முக்கோணத்திலிருந்து பெறப்பட்ட தொடர்வரிசைகள், நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சியம்: https://oeis.org/A008949.