பெல் முக்கோணம்

கணிதத்தில் பெல் முக்கோணம் (Bell triangle) என்பது பாஸ்கலின் முக்கோணத்தை ஒத்த எண்களாலான ஒரு முக்கோணம். இம்முக்கோணத்தின் எண்கள் ஒரு கணத்தின் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட ஒரு உறுப்பை மிகப்பெரிய ஓருறுப்பு கணமாகக் கொண்ட அக்கணத்தின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையைத் தருகின்றன. பெல் எண்களுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையதாக இருப்பதால் இம்முக்கோணம் பெல் முக்கோணம் என அழைக்கப்படுகிறது. இம்முக்கோணத்தின் இருபக்கங்களிலும் அமையும் எண்கள் பெல் எண்களாக உள்ளன. சார்லஸ் சாண்டர்சு பியர்சு (1880), அலெக்சாண்டர் அயிட்கென் (1933) (Cohn et al. 1962) உட்பட்டப் பல கணிதவியலாளர்களால் பெல் முக்கோணம் தனித்தனியாகக் கண்டறியப்பட்டது. கணிதவியலாளர்கள் பியர்சு மற்றும் அயிட்கென் இருவரின் பெயரால் அயிட்கென் வரிசை , பியர்சு முக்கோணம் எனவும் பெல் முக்கோணம் அழைக்கப்படுகிறது.

பெல் முக்கோண உருவாக்கம்

மதிப்புகள்

வெவ்வேறு ஆதாரங்கள் தருகின்ற பெல் முக்கோணங்கள், வெவ்வேறான திசைப்போக்குடையதாக இருப்பினும் அவற்றில் சில ஒன்றிலிருந்து மற்றதை மாற்றி அமைக்கப்பட்டுள்ளவையாக உள்ளன. பாஸ்கல் முக்கோணத்தை ஒத்ததாகவும், நேரிணைய எண்வரிசை கலைக்களஞ்சிய வரிசைப்படியும் அமைந்த பெல் முக்கோணத்தின் சில முதல் வரிசைகள்:

                    1
                 1     2
              2     3     5
           5     7    10    15
       15    20    27    37    52
    52    67    87   114   151   203
203   255   322   409   523   674   877

உருவாக்கம்

முதல் வரிசையில் எண் 1 எழுதிக்கொள்ளப்படுகிறது:

$x_{0,1}=1$

அடுத்த வரிசையின் இடதுகோடி உறுப்பாக முந்தைய வரிசையின் வலதுகோடி உறுப்பு எழுதப்படுகிறது:

$x_{i,1}\leftarrow x_{i-1,r}$ இதில் (i-1)-th வரிசையின் கடைசி உறுப்பு r.

இடதுகோடி உறுப்பையும் அதற்கு மேலுள்ள முந்தைய வரிசையின் உறுப்பையும் கூட்டக்கிடைக்கும் எண் இந்த வரிசையின் அடுத்த உறுப்பாகும்:

$(x_{i,j}\leftarrow x_{i,j-1}+x_{i-1,j-1})$ .

அதாவது,

இரண்டாவது வரிசையின் இடதுகோடி உறுப்பு 1. அதற்கடுத்த உறுப்பு 1+1 = 2.

முதல் வரிசையை விட ஒரு உறுப்பு அதிகமாக இருக்கும்வரை இச்செயல் தொடரப்படுகிறது.

இவ்வாறு அடுத்தடுத்த வரிசைகள் உருவாக்கப்படுகின்றன.

ஒவ்வொரு வரிசையின் இடதுகோடி எண்ணும் பெல் எண்ணாக இருக்கும்:

$B_{i}\leftarrow x_{i,1}$

இம்முறைப்படி உருவாக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் முதல் ஐந்து வரிசைகள்:

 1
 1   2
 2   3   5
 5   7  10  15
15  20  27  37  52

முக்கோணத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் உள்ள எண்கள் பெல் எண்கள்.

சேர்வியல் பொருள்விளக்கம்

பெல் முக்கோணத்தின் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களில் அமைந்துள்ள பெல் எண்கள் ஒரு முடிவுறு கணத்தை உட்கணங்களாகப் பிரிக்கக்கூடிய பிரிவினைகளின் என்ணிக்கையை, அதாவது அந்த கணத்தின் மீதான சமான உறவுகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கின்றன.

பெல் முக்கோணத்தின் முதல் எண் A_1,1; n ஆவது வரிசையில், k ஆவது இடத்திலுள்ள எண் A_n,k எனில், A_n,k என்பது k + 1 ஆவது உறுப்பை மட்டுமே மிகப்பெரிய ஓருறுப்பு கணமாகக் கொண்ட {1, 2, ..., n + 1} கணத்தின் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையக் குறிக்கும். அதாவது அக்கணத்தின் k + 1 ஆவது உறுப்பு மட்டுமே அதன் பிரிவினையின் மிகப்பெரிய ஓருறுப்பு கணமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக மூன்றாவது வரிசையின் நடுவிலுள்ள எண் 3, A_3,2 எனக் குறிக்கப்படும். மேலும் இது {1, 2, 3, 4} கணத்தின் பிரிவினைகளில் 3 ஐ மிகப்பெரிய ஓருறுப்புக் கணமாகக் கொண்ட பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும். அவ்வாறான பிரிவினைகள்:

{1}, {2, 4}, {3}

{1, 4}, {2}, {3}

{1, 2, 4}, {3}.

{1, 2, 3, 4} கணத்தின் இதர பிரிவினைகள் 3 ஐ மிகப்பெரிய ஓருறுப்புக்கணமாகக் கொண்டிருக்காது.

n + 1 உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின், முதல் உறுப்பை மட்டும் ஓருறுப்புக்கணமாகக் கொண்ட பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் கீழுள்ள எண்களை இடதுபக்க மூலைவிட்டமாக சேர்ப்பதன் மூலம் பெல் முக்கோணத்தை கீழ்வருமாறு விரிவுபடுத்தலாம்:

A_n,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...(OEIS-இல் வரிசை A000296)

                       1
                    0     1
                 1     1     2
              1     2     3     5
           4     5     7    10    15
       11    15    20    27    37    52
    41    52    67    87   114   151   203
162   203   255   322   409   523   674   877

பழைய பெல் முக்கோணத்தைப் போலவே ஆனால் சற்றே மாறுபட்ட விதிமுறைப்படி இம்முக்கோணத்தை உருவாக்கலாம். ஒவ்வொரு வரிசையின் இடதுகோடி எண்ணும், அதற்கு முதல் வரிசையின் வலதுகோடி மற்றும் இடதுகோடி எண்களின் வித்தியாசமாக அமையும். A_n,0 = 1, 0, 1, 1, 4, 11, 41, 162, ...(OEIS-இல் வரிசை A000296) -இவ்வெண்கள்

மேற்கோள்கள்

• Aigner, Martin (1999), "A characterization of the Bell numbers", Discrete Mathematics (இதழ்), 205 (1–3): 207–210, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/S0012-365X(99)00108-9, MR 1703260.
• Aitken, A. C. (1933), "A problem in combinations", Edinburgh Mathematical Notes, 28: 18–23, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1017/S1757748900002334.
• Cohn, Martin; Even, Shimon; Menger, Karl, Jr.; Hooper, Philip K. (1962), "Mathematical Notes: On the number of partitionings of a set of n distinct objects", American Mathematical Monthly, 69 (8): 782–785, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2310780, MR 1531841{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link).
• Gardner, Martin (1978), "The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes", சயன்டிஃபிக் அமெரிக்கன், 238: 24–30, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1038/scientificamerican0578-24. Reprinted with an addendum as "The Tinkly Temple Bells", Chapter 2 of Fractal Music, Hypercards, and more ... Mathematical Recreations from Scientific American, W. H. Freeman, 1992, pp. 24–38.
• Peirce, C. S. (1880), "On the algebra of logic", American Journal of Mathematics, 3 (1): 15–57, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.2307/2369442, JSTOR 2369442. The triangle is on p. 48.
• Quaintance, Jocelyn; Kwong, Harris (2013), "A combinatorial interpretation of the Catalan and Bell number difference tables" (PDF), Integers, 13: A29.
• Shallit, Jeffrey (1980), "A triangle for the Bell numbers", A collection of manuscripts related to the Fibonacci sequence (PDF), Santa Clara, Calif.: Fibonacci Association, pp. 69–71, MR 0624091.
• Sun, Yidong; Wu, Xiaojuan (2011), "The largest singletons of set partitions", European Journal of Combinatorics, 32 (3): 369–382, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/j.ejc.2010.10.011, MR 2764800.

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Bell Triangle", MathWorld.