சமானம், மாடுலோ n

கணிதத்தில், எண் கோட்பாட்டில், சமானம், மாடுலோ n (Congruence modulo n) என்பது சுழற்சி அடிப்படையில் எண்களைக் கொண்டு கணக்கிடும் ஒரு அடிப்படைக் கருத்து. 1801 இல் காஸ் என்னும் ஜெர்மானியக் கணிதப் பேரறிஞரால் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

மாடுலோ கணித ஆய்வுகளைப் பற்றி காஸ் வெளியிட்ட நூலின் முதல் பதிப்பு. புத்தகத்தின் தலைப்பு டிஸ்க்விசிசனே அரித்மெட்டிக்கே என்பதாகும்.

சமான எண்கணிதம் பயன்படும் ஓர் அன்றாட வழக்கு

காலம் கணக்கிட உதவும் இக்கடிகாரம் மாடுலோ 12 இன் அடிப்படையில் அமைந்துள்ளது.

இன்றைய நேரம் இப்பொழுது காலை 9 மணியென்றால், இன்னும் 8 மணிநேரம் கழித்து மணி 17 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வதில் தவறொன்றுமில்லை. ஆனாலும் மக்கள் அதை மணி மாலை 5 ஆக இருக்கும் என்று சொல்வார்கள், அப்படிப் புரிந்தும் கொள்வார்கள். இங்கு நாம் நம்மை அறியாமலே ஒரு சமான எண்கணிதம் கணிக்கிறோம். அதாவது, 9 + 8 =17 ஆக இருந்தாலும் 17 -12 = 5, என்று 12 மணி ஆனவுடன் அதைத் 'தள்ளிவிட்டு', மறுபடியும் 1 இலிருந்து தொடங்கி 1,2,3, என்று எண்ணுகிறோம். இதுதான் சமான எண்கணிதம் (Congruence arithmetic).

வரலாறு

சமான எண்கணிதத்தின் அடிப்படைக் கருத்துகள் யூக்ளிடால் அவரது படைப்பான, எலிமென்ட்சின் ஏழாவது பாகத்தில் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

கணிதத்தில் வரையறை

$a,b,n$ முழு எண்களானால் $a$ யும் $b$ யும் $n$ மாடுலோ சமானம் பெற்றிருக்கின்றன என்பதற்கு இலக்கணம்:

• $a-b,$ எண் $n$ இன் முழு எண் பெருக்காக இருக்கும்.(அ-து, n ஆல் சரியாக வகுபடும்)

இதற்குக்குறியீடு:

$a\equiv b$ (mod $n$)

இதன் உச்சரிப்பு:

$a$ சமானம் $b$, மாடுலோ $n$

இங்கு 'mod' என்ற ஆங்கிலச்சொற்குறி, 'modulus' (மட்டு) என்ற சொல்லுக்காக நிற்கிறது. 'மாடுலோ' என்ற பயன்பாடும் அச்சொல்லிலிருந்து உருவானது. இச்சொல் உலகில் எல்லா மொழிகளிலும் இப்படியே பயன்படுத்தப்பட்டு வருவதாகத் தெரிகிறது.

உடன்விளைவு

'சமானம் மாடுலோ $n$' ஒரு சமான உறவு. ஏனென்றால்,

• அது ஒரு எதிர்வு உறவு. அதாவது, $a\equiv a$ (mod $n$)
• அது ஒரு சமச்சீர் உறவு. அதாவது, $a\equiv b$ (mod $n$) $\Rightarrow b\equiv a$ (mod $n$)
• அது ஒரு கடப்பு உறவு. அதாவது, $a\equiv b$ (mod $n$) மற்றும் $b\equiv c$ (mod $n$) $\Rightarrow a\equiv c$ (mod $n$)

எடுத்துக்காட்டுகள்

• $17\equiv 5$ (mod 12) ஏனென்றால், 17 - 5 = 12
• $365\equiv 1$ (mod 7) ஏனென்றால், 365 - 1 = 364; இது 7 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
• $27\equiv 0$(mod 3) ஏனென்றால், 27 - 0 =27; இது 3 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
• $100\equiv 34$ (mod 6) ஏனென்றால், 100 - 34 = 66; இது 6 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.
• $-13\equiv 2$ (mod 5) ஏனென்றால் -13 -2 = -15; இது 5 ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது

முதல் மூன்று எடுத்துக்காட்டுகளை வேறுவிதமாகவும் பார்க்கலாம்.

17 ஐ 12 ஆல் வகுத்தால் மீதி 5; அல்லது, 17ம் 5ம் 12 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன

365 ஐ 7 ஆல் வகுத்தால் மீதி 1; அல்லது, 365ம் 1ம் 7ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

27 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால் மீதி 0; அல்லது 27ம் 0வும் 3 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

100 ஐ 6 ஆல் வகுத்தால் 34 மீதி வராது. ஆனாலும், 100, 34 இரண்டும் 6 ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கின்றன.

இந்த இரண்டாவது பண்பைக்கொண்டு சமானம் மாடுலோ n க்கு இப்படியும் இலக்கணம் வரையலாம்: n ஒரு நேர்ம முழுஎண்ணாகவும், a, b இரண்டும் எதிர்ம எண்களாக இல்லாமலும் இருந்தால் $a\equiv b$ (mod $n$) க்கு இன்னொரு இலக்கணம்:

• $a$ யும் $b$ யும் $n$ ஆல் வகுபடும்போது ஒரே மீதியை அளிக்கும்.

எனினும் a, n ஆல் வகுபடும்போது b மீதமாக வராத பட்சத்தில், இந்தச் சமானத்தை கணினிப் பொறியாளர்கள்

$a\equiv b$ (modulo $n$) என்று எழுதுகிறார்கள். ஆக $100\equiv 34$ (modulo 6)

மேலும், $a\equiv 0$ (mod $n$) என்று சொல்வதற்குப் பொருள்: a என்ற எண், n ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது.

எல்லாப்பட்சத்திலும் $a\equiv b$ (mod $n$) $\Longleftrightarrow \exists$ முழு எண் $q\ni a=nq+b$

மற்ற விளைவுகள்

• $a\equiv b$(mod $n$), மற்றும் $c\equiv d$(mod $n$) என்றால்

$a+c\equiv (b+d)$ (mod $n$)

$a-c\equiv (b-d)$ (mod $n$)

$k$ ஒரு முழு எண்ணானால், $ka\equiv kb$ (mod $n$)

$ac\equiv bd$ (mod $n$)

$m$ ஒரு நேர்ம முழு எண்ணானால், $a^{m}\equiv b^{m}$ (mod $n$)

இவ்விளைவுகளெல்லாம் சேர்ந்ததுதான் மாடுலோ எண் கணிதம் (modular arithmetic) எனப்படும்.

எச்சத் தொகுதிகள்

மட்டு n இன் ஒவ்வொரு எச்சத் தொகுதியையும் அத்தொகுதிக்குரிய எந்தவொரு உறுப்பைக் கொண்டும் அடையாளப்படுத்தலாம். எனினும் அத்தொகுதிக்குரிய மிகச்சிறிய எதிர்மமில்லா முழுஎண்ணே அத்தொகுதியைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. மட்டு n இன் இரு வெவ்வேறு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்புகள் மட்டு n ஐப் பொறுத்து சமானமானதாக இருக்காது. மேலும், ஒவ்வொரு முழுஎண்ணும் மட்டு n இன் ஏதாவது ஒரேயொரு எச்சத் தொகுதியின் உறுப்பாக மட்டுமே இருக்கும்.

{0, 1, 2, ..., n−1} என்ற முழுஎண் கணம், மட்டு n இன் ”மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி” எனவும், மட்டு n ஐப் பொறுத்து ஒன்றுக்கொன்று சமானமாக இல்லாத n முழுஎண்களின் கணம், மட்டு n இன் ”முழுமையான எச்சத் தொகுதி” எனவும் அழைக்கப்படும்..

மீச்சிறு எச்சத் தொகுதியானது முழுமையான எச்சத்தொகுதியாகவும் இருக்கும். மட்டு n இன் எச்சத் தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றிலிருந்தும் ஒரு உறுப்பைக் கொண்டதாக முழுமையான எச்சத் தொகுதி அமையும்.

மட்டு 4 இன் மீச்சிறு எச்சத் தொகுதி: {0, 1, 2, 3}.

மட்டு 4 இன் முழுமையான எச்சத் தொகுதிகளில் சில:

• {1, 2, 3, 4}
• {13, 14, 15, 16}
• {−2, −1 ,0, 1}
• {−13, 4, 17, 18}
• {−5, 0, 6, 21}
• {27, 32, 37, 42}

மட்டு 4 இன் முழுமையற்ற எச்சத் தொகுதிகளில் சில:

• {−5, 0, 6, 22} (மட்டு 4 ஐப் பொறுத்து 6, 22 க்குச் சமானம் இல்லை)
• {5, 15} (மட்டு 4 இன் எச்சத்தொகுதிகள் ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு உறுப்பு என ஒரு மட்டு 4 இன் ஒரு முழுமையான எச்சத் தொகுதி 4 உறுப்புகளைக் கொண்டிருக்க வேண்டும்)

முற்றிசைவுப் பகுதிகள்

சமானம் மட்டு n ஒரு சமான உறவாகும். ஏதேனுமொரு முழு எண் a க்குரிய சமானப் பகுதி

${\overline {a}}_{n}=\left\{\ldots ,a-2n,a-n,a,a+n,a+2n,\ldots \right\}$.

இது மட்டு n ஐப் பொறுத்து a க்குச் சமானமாக உள்ள முழுஎண்களைக் கொண்ட கணமாகும். இக்கணம்  மட்டு n இன் ”முற்றிசைவுப் பகுதி” அல்லது ”எச்சப் பகுதி” அல்லது ”மட்டு n க்கான முழுஎண் a இன் எச்சம்” என அழைக்கப்படுகிறது. n அறியப்பட்ட நிலையில் இதனைச் சுருக்கமாக, $\displaystyle [a]$ எனவும் குறிக்கலாம்.

முழுஎண்கள் மட்டு n

மட்டு n க்கான a இன் முற்றிசைவுப் பகுதிகள் அனைத்தையும் கொண்ட கணம், ”முழுஎண்கள் மட்டு n கணம்” என அழைக்கப்படுகிறது. இதன் குறியீடு $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, $\mathbb {Z} /n$ அல்லது $\mathbb {Z} _{n}$.

முழுஎண்கள் மட்டு n கணத்தின் வரையறை:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {a}}_{n}|a\in \mathbb {Z} \right\}.$

n≠0 எனில், $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ n உறுப்புகள் கொண்டிருக்கும்:

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} =\left\{{\overline {0}}_{n},{\overline {1}}_{n},{\overline {2}}_{n},\ldots ,{\overline {n-1}}_{n}\right\}.$

When n = 0 எனில், ${\overline {a}}_{0}=\left\{a\right\}$ என்பதால் $\mathbb {Z}$ உடன் சமஅமைவியம் கொண்டதாக $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ இருக்கும்.

$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ இல் கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

• ${\overline {a}}_{n}+{\overline {b}}_{n}={\overline {(a+b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}-{\overline {b}}_{n}={\overline {(a-b)}}_{n}$
• ${\overline {a}}_{n}{\overline {b}}_{n}={\overline {(ab)}}_{n}.$

வெளியிணைப்புகள்

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Congruence", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104
• In this modular art பரணிடப்பட்டது 2006-01-01 at the வந்தவழி இயந்திரம் article, one can learn more about applications of modular arithmetic in art.
• Weisstein, Eric W., "Modular Arithmetic", MathWorld.
• An article பரணிடப்பட்டது 2016-02-20 at the வந்தவழி இயந்திரம் on modular arithmetic on the GIMPS wiki
• Modular Arithmetic and patterns in addition and multiplication tables
• Whitney Music Box—an audio/video demonstration of integer modular math