விந்தை எண்
எண் கோட்பாட்டில், விந்தை எண் (weird number) என்பது மிகையெண்ணாக, ஆனால் அரைநிறைவெண்ணாக இல்லாத ஒரு இயல் எண் ஆகும்.[1][2] அதாவது ஒரு இயலெண்ணின் தகு வகுஎண்களின் கூடுதல் அந்த எண்ணைவிடப் பெரியதாகவும், ஆனால் அவ்வகுஎண்களின் எந்தவொரு உட்கணத்தின் கூடுதலும் அந்த இயலெண்ணுக்குச் சமமாகவும் இல்லாமல் இருந்தால் அந்த இயலெண் ஒரு விந்தை எண்ணாகும்.
எடுத்துக்காட்டுகள் தொகு
- மிகச் சிறிய விந்தை எண் 70.
- 70 இன் தகு வகுஎண்கள்: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35
- இவற்றின் கூடுதல்: 1 + 2 + 5 + 7 + 10 + 14 + 35 = 74 > 70. ஆனால் இந்த வகுஎண்களின் உட்கணம் எதன் கூடுதலும் 70 க்குச் சமமில்லை. எனவே 70 ஒரு விந்தை எண்.
எண் 12 விந்தை எண் இல்லை.
- ஏனெனில் 12 இன் தகு வகுஎண்களான 1, 2, 3, 4, 6 இன் கூடுதல் 16 > 12. அதாவது 12 ஒரு மிகையெண். ஆனால் 2, 4, 6 ஆகிய மூன்று வகுஎண்களின் கூடுதல் 2+4+6 = 12 ஆக இருப்பதால் 12 அரைநிறைவெண் கிடையாது. எனவே அது ஒரு விந்தை எண் அல்ல.
துவக்க விந்தை எண்களில் சில:
- 70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, 13790, 13930, 14770, ... (OEIS-இல் வரிசை A006037)
.
பண்புகள் தொகு
விந்தை எண்கள் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன[3] எடுத்துக்காட்டாக, p ஒரு பகாஎண்; p ≥ 149 என்ற நிபந்தனைகளுக்கு உட்பட்ட, p இன் மதிப்புகளுக்கு 70p விந்தை எண்களாக இருக்கும்.[4]
ஒற்றை விந்தை எண்கள் உள்ளனவா என்பது கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. அவ்வாறு இருந்தால் அவை 230 ≈ 1×109 ஐ விடப் பெரியதாகவும்.[5] 1021 ஐ விடப் பெரியதாகவும் இருக்கும்.[6]
சிட்னி கிரவிட்சு (Sidney Kravitz) என்ற கணிதவியலாளர்,
k ஒரு முழுஎண்; 2k ஐ விடப் பெரிய பகா எண் Q ; என்பது ; also prime and greater than 2k ஐ விடப் பெரிய பகாஎண் எனில்
- என்பது ஒரு விந்தை எண் எனக் கண்டறிந்தார்.[7]
இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்தி அவர் கண்டுபிடித்தப் பெரிய விந்தை எண்:
- .
n ஒரு விந்தை எண்; n இன் வகுஎண்களின் கூட்டு σ(n) ஐ விடப் பெரிய பகாஎண் p எனில், pn உம் ஒரு விந்தை எண்ணாக இருக்கும்.[4]
வேறெந்தவொரு விந்தை எண்ணின் பெருக்குத்தொகையாக அமையாத விந்தை எண்கள் முதனிலை விந்தை எண்கள் (primitive weird numbers) எனப்படும் (OEIS-இல் வரிசை A002975) . முதனிலை விந்தை எண்கள் முடிவிலா எண்ணிக்கையில் உள்ளன.[8]
மேற்கோள்கள் தொகு
- ↑ Benkoski, Stan (August–September 1972). "E2308 (in Problems and Solutions)". The American Mathematical Monthly 79 (7): 774. doi:10.2307/2316276.
- ↑ Richard K. Guy (2004). Unsolved Problems in Number Theory. இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-20860-7. இணையக் கணினி நூலக மையம்:54611248. https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr. Section B2.
- ↑ Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, தொகுப்பாசிரியர்கள் (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: இசுபிரிங்கர் பதிப்பகம். பக். 113–114. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:1-4020-4215-9.
- ↑ 4.0 4.1 Benkoski, Stan; Paul Erdős (April 1974). "On Weird and Pseudoperfect Numbers". Mathematics of Computation 28 (126): 617–623. doi:10.2307/2005938. https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1974-04_28_126/page/617.
- ↑ Friedman, Charles N. (1993). "Sums of divisors and Egyptian fractions". J. Number Theory 44: 328–339. doi:10.1006/jnth.1993.1057. The result is attributed to "M. Mossinghoff at University of Texas - Austin".
- ↑ http://oeis.org/A006037 OEIS: Weird numbers; comments concerning odd weird numbers.
- ↑ Kravitz, Sidney (1976). "A search for large weird numbers". Journal of Recreational Mathematics (Baywood Publishing) 9 (2): 82–85.
- ↑ Melfi, Giuseppe (2015). "On the conditional infiniteness of primitive weird numbers". Journal of Number Theory (Elsevier) 147: 508–514. doi:10.1016/j.jnt.2014.07.024.
வெளியிணைப்புகள் தொகு
- Weisstein, Eric W., "விந்தை எண்", MathWorld.