விழுக்காடு

கணிதத்தில் விழுக்காடு அல்லது சதவிகிதம் (percentage) என்பது 100 இன் பின்னமாக எழுதப்பட்ட ஒரு எண் அல்லது விகிதம். விழுக்காடு "%" என்ற குறியீட்டால் அல்லது, "pct.", "pct"; "pc" ஆகிய சுருக்கீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.^[1] ஒரு விகிதம் அல்லது பின்னத்தை, முழு எண்ணாக வெளிப்படுத்த விழுக்காடு ஒரு வழியாகும். 100ஐ பகுவெண்ணாகக் (பின்னக்கீழ் எண்) கொண்டு இவ்வாறு செய்யப்படுகிறது. "45%" என்பது ("45 விழுக்காடு") 45/100 அல்லது 0.45 என்பதின் சுருக்கமாகும்.

விழுக்காடுகள் பொதுவாக 0-100 க்குள் அமையும் என்றாலும் 100ஐக் காட்டிலும் பெரிய எண்ணாகவோ அல்லது எதிர்ம எண்களாகவோ இருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, ஒப்பீடுகளிலும் மாற்ற விழுக்காடுகளிலும் 111% அல்லது −35% போன்றவை பயன்பாட்டில் உள்ளன. மேலும், 200 % என்பது ஒரு எண்ணை விட இரு மடங்கு கூடுதலான எண்ணை குறிக்கும். 100 விழுக்காட்டு உயர்வு இரு மடங்கு கூடுதலான எண்ணையும், 200 விழுக்காட்டு உயர்வு மூன்று மடங்கு கூடுதலான எண்ணையும் தரும். இதன் மூலம் விழுக்காட்டு உயர்வுக்கும் மடங்கு உயர்வுக்கும் உள்ள தொடர்பை அறியலாம்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

"45 விழுக்காடு மனிதர்கள்..."

என்பது பின்வரும் இரண்டு சொற்றொடர்களுக்கும் சமமாகும்:

"ஒவ்வொரு 100 பேரிலும் உள்ள 45 பேர்..."

"மனித மக்கட் தொகையில் 0.45 பகுதி "

"இரண்டு விழுக்காடு" என்பதை,(% சின்னத்தால் குறிக்கப்படுவது), 2/100, அல்லது 0.02 என்ற எண்களாக கருதுவது எளிமையாகும்.
ஒரு வகுப்பிலுள்ள மாணவர்களில் 50% ஆண்கள் எனில், வகுப்பிலுள்ள மொத்தக் குழந்தைகள் 100 பேர் எனில் அதில் 50 பேர் ஆண் குழந்தைகள் என்பதாகும். வகுப்பில் மொத்தம் 500 பேர் எனில் அதில் 250 பேர் ஆண்களாவர்.
ஒரு பொருளின் விலை ரூ 2.50 லிருந்து ரூ0.15 அதிகரித்தால், விலையில் ஏற்பட்ட அதிகரிப்பின் அளவு 0.15/2.50 = 0.06. ஆகும். விழுக்காட்டில் இந்த அதிகரிப்பு 6% ஆகும்.

பெரும்பாலும் விழுக்காடுகளின் மதிப்புகள் 0 - 100 ஆக இருந்தாலும், அவ்வாறுதான் இருக்கவேண்டுமென்ற கட்டுப்பாடுகள் எதுவும் இல்லை^[2] எடுத்துக்காட்டாக, 111% அல்லது −35%,போன்ற பயன்பாடுகளும் உள்ளன.

வரலாறு

பதின்ம எண்முறை கண்டுபிடிக்கப்படுவதற்கு முன்பே, பண்டைய ரோமில் ¹⁄₁₀₀ இன் மடங்காக அமையும் பின்னங்களைக் கொண்டு கணக்கீடுகள் செய்யப்பட்டன. எடுத்துக்காட்டாக அகஸ்ட்டசால் ஏலங்களில் விற்கப்படும் பொருட்கள் மீது ¹⁄₁₀₀ பங்கு வரி விதித்தான். இப்பின்னத்தைக் கொண்டு கணக்கிடுவது விழுக்காட்டைக் கணக்கிடுவதற்குச் சமமாகும். நடுக்காலத்தில் பணத்தின் வகைப்பாடு அதிகரித்ததால், 100 ஐப் பகுதியாகக் கொண்ட கணக்கீடும் அதிகமானது. மேலும் 15 மற்றும் 16 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் எண்கணிதப் பாடப்புத்தகங்களில் அக்கணக்கீடுகள் இடம்பெற்றன. அப்பாடப்புத்தகங்களில் இலாப-நட்டம், வட்டிவீதம், மூன்றாம் விதி கணக்கிடுவதில், இக்கணக்கீட்டு முறைகள் பயன்படுத்தப்பட்டன. 17 ஆம் நூற்றாண்டுவாக்கில் வட்டிவீதங்களை நூறின் பங்காகக் குறிப்பது வழமையானது.^[3]

சதவீதக் குறி

"சதவீதம்" என்பதற்கான ஆங்கிலச் சொல் "per cent", "நூறின் பங்கு" என்ற பொருளுடைய ("by the hundred") இலத்தீன் சொல் per centum லிருந்து பெறப்பட்டதாகும்.^[4]

"ஒரு நூறுக்கு" ("for a hundred") என்ற பொருள்தரும் இத்தாலிய வார்த்தையான per cento என்பதன் சிறிதுசிறிதானக் சுருக்கமாக சதவீதத்தின் குறி உருவானது. "per" என்பது "p" ஆகச் சுருங்கி, இறுதியில் இல்லாமலே போய்விட்டது; ஒரு கிடைக்கோட்டுக்கு இடைப்பட்ட இரு வட்டங்களாக "cento" சுருங்கியது; பின் அவ்வடிவிலிருந்து தற்போது பயன்படுத்தப்படும் "%" உருவானது.^[5]

கணக்கிடுதல்

ஒரு விகிதத்தின் விழுக்காடானது அதன் எண்மதிப்பை 100 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 1250 பழங்களில் 50 பழங்களின் விழுக்காடு காண முதலில் ⁵⁰⁄₁₂₅₀ விகிதத்தின் மதிப்பு ⁵⁰⁄₁₂₅₀ = 0.04 காணப்படுகிறது. அம்மதிப்பை 100 ஆல் பெருக்கி விழுக்காடு பெறப்படுகிறது. 0.04 x 100 = 4%. முதலில் 100 ஆல் பெருக்கி பின்னர் பகுதி எண்ணால் வகுத்தும் விழுக்காடு காணலாம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், 50 ஐ 100 ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது 5,000. இதனை 1250 ஆல் வகுக்க விழுக்காடு 4% ஆகக் கிடைக்கும்.

{\frac {50}{1250}}\times 100=4

%

(அல்லது)

{\frac {50}{100}}\times 1250=4

%

ஒரு விழுக்காட்டின் விழுக்காடு காண, இரு விழுக்காடுகளையும் 100 இன் பின்னங்களாகவோ பதின்மங்களாகவோ மாற்றிக்கொண்டு அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

40% இன் 50%

{\frac {40}{100}}\times {\frac {50}{100}}

{\frac {20}{100}}=20

%

விழுக்காட்டை ஒரே சமயத்தில் 100 இன் பின்னமாகவும் விழுக்காட்டின் குறிடனும் எழுதுவது தவறு.

{\frac {25}{100}}=0.25=25

%

ஆனால் 25% ஐ ^25%⁄₁₀₀ என எழுதுவது தவறான முறையாகும்.

இதன் உண்மையான மதிப்பு:

{\frac {\frac {25}{100}}{100}}={\frac {25}{10000}}=.0025

இதேபோல ¹⁰⁰⁄₁₀₀% என்பதும் தவறான எழுதுமுறையாகும். இது 100% ஐக் குறித்தாலும் உண்மையில் இதன் மதிப்பு 1% ஆக இருக்கும்.

விழுக்காட்டைப் பற்றிக் குறிப்பிடும்போது அது எதனுடன் தொடர்பானது என்பதைக் குறிப்பிடுவது அவசியமாகும். அதாவது 100% க்கான மொத்த மதிப்பு என்ன என்பது குறிப்பிடப்பட வேண்டும். கீழுள்ள கணக்கின் மூலம் இதனை அறியலாம்.

கணக்கு:

ஒரு கல்லூரியில் மொத்த மாணவர்களில் 60% பேர் மாணவிகள்; 10% பேர் கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்கள். மாணவிகளில் 5% பேர் கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்கள் எனில், கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்களில் எத்தனை விழுக்காடு மாணவிகளாக இருப்பர்?

கணினிப் பொறியியல் படிக்கும் மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் மாணவிகளின் விகிதம் காண வேண்டும்:

மொத்த மாணவிகளின் சதவீதம் = 60%

மாணவிகளில் கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்களின் விழுக்காடு = 5%

60% இல் 5% இன் மதிப்பு:

{\frac {60}{100}}\times {\frac {5}{100}}={\frac {3}{100}}=3

% ஆகும்.

கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்களில் மாணவிகளின் விழுக்காடு காண, மாணவிகளில் கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்களின் விழுக்காட்டினை, மொத்த கணினிப் பொறியியல் மாணவர்களின் விழுக்காடான 10% ஆல் வகுக்க வேண்டும்

^3%⁄_10% = ³⁰⁄₁₀₀ = 30%

எனவே கணினிப் பொறியியல் படிப்பவர்களில் மாணவியரின் விழுக்காடு = 30%.

இந்த எடுத்துக்காட்டு நிபந்தனை நிகழ்தவு கருத்துருவுடன் நெருங்கிய தொடர்புடையதாக உள்ளது.

சதவீத மாற்றம்

சதவீத மாற்றமானது, சதவீத வித்தியாசம் மற்றும் சதவீத முனைப்புள்ளி வித்தியாசம் என இருவகையாக உள்ளது. சதவீத வித்தியாசம் என்பது இரு கணியங்களின் சார்மாற்றத்தின் விழுக்காடாகும். சதவீத முனைப்புள்ளி வித்தியாசம் என்பது இரு விழுக்காடுகளின் வித்தியாசம் ஆகும்.^[6]^[7]^[8]

எடுத்துக்காட்டு: ஒரு தொழிற்சாலையில் உற்பத்தி செய்யப்பட்ட பொருட்களில் 30% குறைபாடுள்ளவை; ஆறுமாதங்களுக்குப் பின்னர் 20% பொருட்கள் குறைபாடுள்ளவை எனில்,

சதவீத முனைப்புள்ளி வித்தியாசம் = 20% -30% = -10% = -10 சதவீதப்புள்ளிகள்
சதவீத வித்தியாசம் = (-10/30) x 100 = −33 1/3%

சதவீத அதிகரிப்பும் குறைவும்

ஒரு கணியத்தின் "10% அதிகரிப்பு" அல்லது "10% குறைவு அல்லது வீழ்ச்சி" என்பது அக்கணியத்தின் துவக்க மதிப்பைச் சார்ந்தது.

எடுத்துக்காட்டாக,

ரூ 200 துவக்க விலை கொண்ட ஒரு பொருளின் விலை ஒரு மாதத்தில் 10% அதிகரித்துள்ளது எனில் உண்மையில் அதிகமான அளவு ரூ 20. அப்பொருளின் தற்போதைய விலை ரூ220 ஆகும். அதாவது இறுதிவிலை துவக்கவிலையில் 110% ஆகும்.

ஒரு கணியத்தில் ஏற்படும் மாற்றத்தின் அளவு $x$ % எனில், அக்கணியத்தின் இறுதி மதிப்பானது துவக்க மதிப்பில் 100 + $x$ % ஆகும். (துவக்க மதிப்பில் 1 + 0.01 $x$ மடங்கு).

பொதுவாக, ஒரு கணியத்தின் துவக்க மதிப்பு $p$ . அதன் மதிப்பு $x$ சதவீதம் அதிகரிப்பும் தொடர்ந்து $x$ வீழ்ச்சியும் அடையுமானால் அதன் இறுதி மதிப்பு:

p

(1 + 0.01

x

)(1 − 0.01

x

) =

p

(1 − (0.01

x

)²);

அதாவது நிகர மாற்றம் $x$ சதவீதத்தில் $x$ சதவீத அளவு வீழ்ச்சியாக அமைகிறது.

மேலுள்ள எடுத்துக்காட்டில், துவக்க மதிப்பு: ரூ 200 முதல்மாத சதவீத அதிகரிப்பு = 10 அதிகரிப்பின் மதிப்பு = (10/100) x 200 = ரூ 20. முதல்மாத இறுதி மதிப்பு = 200 + 20 = ரூ 220.

இதே எடுத்துக்காட்டில் முதல்மாத 10% அதிகரிப்பைத் தொடர்ந்து அடுத்த மாதம் 10% வீழ்ச்சி ஏற்படுமானால்,

இரண்டாவது மாத வீழ்ச்சி சதவீதம் = 10%

வீழ்ச்சியின் அளவு = (10/100) x 220 = ரூ 22

இரண்டாவது மாத இறுதி மதிப்பு = 220 - 22 =ரூ 198

இந்த இறுதி மதிப்பு ரூ198 ஆனது துவக்க மதிப்பு ரூ200 ஐவிட 10% இல் 10%, அல்லது 1% குறைவு.

இதேபோல $x$ சதவீத வீழ்ச்சியைத் தொடர்ந்து $x$ சதவீத அதிகரிப்பு நிகழ்ந்தால், இறுதி மதிப்பு:

p

(1 - 0.01

x

)(1 + 0.01

x

) =

p

(1 − (0.01

x

)²).

ஒரு கணியத்தின் அதிகரிப்பு 100% எனில், அதன் இறுதி மதிப்பானது, அதன் துவக்க மதிப்பில் 200% ஆகும். அதாவது அதன் மதிப்பு இரட்டிப்பாகி உள்ளது.
800% அதிகரிப்பு என்பது அதன் இறுதி மதிப்பானது, அதன் துவக்க மதிப்பில் 9 மடங்காகும் (100% + 800% = 900% = 9 மடங்கு அதிகம்).
60% குறைவு எனில் இறுதி மதிப்பானது, துவக்கமதிப்பில் 40% ஆகும் (100% – 60% = 40%).
100% குறைவு எனில் இறுதி மதிப்பு பூச்சியமாகும். (100% – 100% = 0%)

தொடர்புள்ள அலகுகள்

தொடர்புள்ள அலகுகளின் பட விளக்கம்

சதவீத முனைப்புள்ளி
ஆயிர வீதம் (‰) ஆயிரத்தில் ஒரு பங்கு (1,000 இல் 1)
அடிப்படைப் புள்ளி (‱) (1 part in 10,000) பத்தாயிரத்தில் ஒன்று
நூறாயிர வீதம் (pcm) 100,000 இல் 1
குறியீடு பகுதிவீதம் (Parts-per notation)
சாய்வு
அலகுவீத முறைமை (Per-unit system)

மேற்கோள்கள்

↑ http://www.telegraph.co.uk/finance/economics/11329769/Eurozone-officially-falls-into-deflation-piling-pressure-on-ECB.html
↑ Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Pearson Addison Wesley, p. 134, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-321-22773-5
↑ Smith, D.E. (1958) [1951]. History of Mathematics. Vol. 2. Courier Dover Publications. pp. 247–249. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20430-8.
↑ American Heritage Dictionary of the English Language, 3rd ed. (1992) Houghton Mifflin
↑ Smith p. 250
↑ Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West (2014) Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them Brookings Institution Press, p.163
↑ Janet Kolodzy (2006) Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media Rowman & Littlefield Publishers, p.180
↑ David Gillborn (2008) Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? Routledge p.46

வெளி இணைப்புகள்

[1] ttp://www.telegraph.co.uk/finance/economics/11329769/Eurozone-officially-falls-into-deflation-piling-pressure-on-ECB.html

[2] Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), Using and Understanding Mathematics / A Quantitative Reasoning Approach (3rd ed.), Pearson Addison Wesley, p. 134, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-321-22773-5

[3] Smith, D.E. (1958) [1951]. History of Mathematics. Vol. 2. Courier Dover Publications. pp. 247–249. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-20430-8.

[4] American Heritage Dictionary of the English Language, 3rd ed. (1992) Houghton Mifflin

[5] Smith p. 250

[6] Paul E. Peterson, Michael Henderson, Martin R. West (2014) Teachers Versus the Public: What Americans Think about Schools and How to Fix Them Brookings Institution Press, p.163

[7] Janet Kolodzy (2006) Convergence Journalism: Writing and Reporting across the News Media Rowman & Littlefield Publishers, p.180

[8] David Gillborn (2008) Racism and Education: Coincidence Or Conspiracy? Routledge p.46

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]