வீழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், வீழும் தொடர்பெருக்கம் (falling factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து ஒன்றொன்றாக குறைந்துவரும் முந்தைய முந்தைய n காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)$ ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் வீழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, (x)_n என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வீழும் தொடர்பெருக்கமானது இறங்கும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

முதல் வீழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

$x_{(0)}=1\,$

$x_{(1)}=x\,$

$x_{(2)}=x(x-1)=x^{2}-x\,$

$x_{(3)}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x\,$

$x_{(4)}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\,$

பண்புகள்

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

$n!=n_{(n)}\,$

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

${\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.$

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் வீழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் மற்றும் வீழும் தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${(-x)}^{(n)}={(-1)}^{n}{(x)}_{n}.$ மற்றும்

$x^{(n)}={(x+n-1)}_{n}.$

ஒரு வீழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் ந்ன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக் கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி வீழும் தொடர்பெருக்கத்தை n -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு x மற்றும் x + n இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

$(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.$

D என்பது x-ஐப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்குமானால்:

$D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.$

மாற்றுக் குறியீடு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் -ல் வீழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.

இதன்படி வீழும் தொடர்பெருக்கம்:

$x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }\qquad {\mbox{for integer }}m\geq 0;$

பிற குறியீடுகள்:

P(x, n),

^xP_n,

P_x,n,

_xP_n.

(x)⁺_n என எழும் தொடர்பெருக்கம் குறிக்கப்படும்போது வீழும் தொடர்பெருக்கமானது (x)^–_n எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

இவற்றையும் பார்க்க

• எழும் தொடர்பெருக்கம்

மேற்கோள்கள்

• Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0521558212.

Weisstein, Eric W. "Falling Factorial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html