வீழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், வீழும் தொடர்பெருக்கம் (falling factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து ஒன்றொன்றாக குறைந்துவரும் முந்தைய முந்தைய n காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)

ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் வீழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, $(x) n$ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வீழும் தொடர்பெருக்கமானது இறங்கும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.^[1]

முதல் வீழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

$x_{(0)}=1\,$

$x_{(1)}=x\,$

$x_{(2)}=x(x-1)=x^{2}-x\,$

$x_{(3)}=x(x-1)(x-2)=x^{3}-3x^{2}+2x\,$

$x_{(4)}=x(x-1)(x-2)(x-3)=x^{4}-6x^{3}+11x^{2}-6x\,$

பண்புகள் தொகு

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

n!=n_{(n)}\,

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

{\frac {(x)_{n}}{n!}}={x \choose n}.

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் வீழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் மற்றும் வீழும் தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

{(-x)}^{(n)}={(-1)}^{n}{(x)}_{n}.

மற்றும்

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n}.

ஒரு வீழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் ந்ன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக் கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி வீழும் தொடர்பெருக்கத்தை $n$ -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு $x$ மற்றும் $x + n$ இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

(x)_{n}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x-n+1)}}.

$D$ என்பது $x$ -ஐப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்குமானால்:

D^{n}(x^{a})=(a)_{n}\,\,x^{a-n}.

மாற்றுக் குறியீடு தொகு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் -ல் வீழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.^[2]

இதன்படி வீழும் தொடர்பெருக்கம்:

x^{\underline {m}}=\overbrace {x(x-1)\ldots (x-m+1)} ^{m~\mathrm {factors} }\qquad {\mbox{for integer }}m\geq 0;

பிற குறியீடுகள்:

P (x, n)

,

x P n

,

P x, n

,

x P n

.

$(x) + n$ என எழும் தொடர்பெருக்கம் குறிக்கப்படும்போது வீழும் தொடர்பெருக்கமானது $(x) - n$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது.^[3]

இவற்றையும் பார்க்க தொகு

எழும் தொடர்பெருக்கம்

குறிப்பு தொகு

↑ Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
↑ Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48
↑ Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

மேற்கோள்கள் தொகு

Olver, Peter J. (1999), Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, ISBN 0521558212.

Weisstein, Eric W. "Falling Factorial." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.

http://mathworld.wolfram.com/FallingFactorial.html

[Steffensen-1] Steffensen, J. F., Interpolation (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)

[2] Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) Concrete Mathematics, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, pp. 47,48

[Knuth-3] Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", American Mathematical Monthly, 99 (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.

[1]

[2]

[3]