எழும் தொடர்பெருக்கம்

கணிதத்தில், எழும் தொடர்பெருக்கம் அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் (rising factorial) என்பது x -லிருந்து தொடங்கி தொடர்ந்து வரும் அடுத்தடுத்த n எண் காரணிகளின் பெருக்குத் தொகையைக் குறிக்கும். இங்கு n ஒரு குறையிலா முழு எண்ணாக இருத்தல் வேண்டும். அதாவது,

x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1).

ஆகும்.

இக்கட்டுரையில் எழும் தொடர்பெருக்கத்தைக் குறிக்க, $x (n)$ என்ற குறியீடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. எழும் தொடர் பெருக்கமானது போக்கம்மர் சார்பு அல்லது போக்கம்மர் பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது ஏறும் தொடர்பெருக்கம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.^[1]

முதல் எழும் தொடர்பெருக்கங்கள் சில:

$x^{(0)}=1\,$

$x^{(1)}=x\,$

$x^{(2)}=x(x+1)=x^{2}+x\,$

$x^{(3)}=x(x+1)(x+2)=x^{3}+3x^{2}+2x\,$

$x^{(4)}=x(x+1)(x+2)(x+3)=x^{4}+6x^{3}+11x^{2}+6x\,$

பண்புகள்

சாதாரண தொடர்பெருக்கத்தை எழும் தொடர்பெருக்கம் மூலமாக பின்வருமாறு எழுதலாம்:

n!=1^{(n)}\,

ஒரு ஈருறுப்புக் கெழுவை எழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் எழுதலாம்.

{\frac {x^{(n)}}{n!}}={x+n-1 \choose n}

இதனால் ஈருறுப்புக் கெழுக்களுடைய பல முற்றொருமைகளில் எழும் தொடர்பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

எழும் தொடர்பெருக்கத்தை வீழும் தொடர்பெருக்கத்தின் மூலம் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

x^{(n)}={(x+n-1)}_{n}.

இவ்விரண்டு தொடர்பெருக்கங்களுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

{(-x)}^{(n)}={(-1)}^{n}{(x)}_{n}.

ஒரு எழும் தொடர்பெருக்கம் எந்தவொரு வளையத்திலும் நன்கு வரையறுக்கப்படும் என்பதால், x -ஐ ஒரு கலப்பெண் (எதிர்ம முழுஎண்கள் உட்பட) அல்லது கலப்பெண் கெழுக்களுடைய பல்லுறுப்புக்கோவை அல்லது கலப்பெண் மதிப்புடைய சார்பு எனக் கொள்ளலாம்.

காமா சார்பை பயன்படுத்தி எழும் தொடர்பெருக்கத்தை $n$ -ன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கும் நீட்டிக்கலாம். இதற்கு $x$ மற்றும் $x + n$ இரண்டும் எதிர்ம முழு எண்களற்ற கலப்பெண்களாக இருக்க வேண்டும்.

x^{(n)}={\frac {\Gamma (x+n)}{\Gamma (x)}},

மாற்றுக் குறியீடு

ரொனால்ட் எல். கிரஹாம், டோனால்ட் இர்வின் நுத் மற்றும் ஓரென் ஃப்டாஷினிக் ஆகியோர் எழுதிய கான்கிரீட் மேத்தமெட்டிக்ஸ் புத்தகத்தில் எழும் தொடர்பெருக்கத்திற்கு வேறொரு குறியீடு தரப்பட்டுள்ளது.^[2]

இதன்படி எழும் தொடர்பெருக்கம்: