P-வழி மதிப்பீடு

எண் கோட்பாட்டில், ஒரு முழு எண் n இன் p-வழி மதிப்பீடு அல்லது p -வழி வரிசை என்பது n ஐ வகுக்கும் ஒரு பகாஎண் p இன் மிக உயர்ந்த அடுக்கு ஆகும். இது, $\nu _{p}(n)$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. சமானமாக, $\nu _{p}(n)$ என்பது $n$ -இன் முதன்மை காரணியாக்க வடிவில் பகாஎண் $p$ தோன்றும் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கிறது .

p -வழி மதிப்பீடு என்பது ஒரு மதிப்பிடல் முறையாக இருப்பதுடன் வழக்கமான தனி மதிப்பு காண்பதற்கு ஒத்தமுறையாகவும் அமைகிறது. விகிதமுறு எண்களைத் தனி மதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய மெய்யெண்கள் $\mathbb {R}$ கிடைப்பதுபோல, விகிதமுறு எண்களை $p$-வழி தனிமதிப்பு கொண்டு முழுமையாக்கம் செய்ய $p$-வழி எண்கள் $\mathbb {Q} _{p}$ கிடைக்கும்.

இயல் எண்களை அவற்றின் 2-வழியான மதிப்பீட்டின் பரவல்; ஒத்த இரண்டின் அடுக்குகள் தசமத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன. பூச்சியம், முடிவிலா மதிப்பீடைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறையும் பண்புகளும்

p ஒரு பகா எண்.

முழு எண்கள்

ஒரு முழு எண் $n$-இன் p -வழி மதிப்பீடு கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

இங்கு $\mathbb {N}$ இயல் எண்களின் கணத்தைக் குறிக்கிறது. மற்றும் $m\mid n$ ஆனது $n$ ஐ $m$ ஆல் வகுக்கும் தன்மையைக் குறிக்கிறது.

$\nu _{p}$ ஒரு [[சார்பு|சார்பாக]] அமைகிறது:

$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$

எடுத்துக்காட்டாக:

$\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$, $\nu _{5}(-12)=0$ ஆகியவற்றிலிருந்து, $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$.

$p^{k}\parallel n$ என்ற குறியீடு சில சமயங்களில் $k=\nu _{p}(n)$ என்பதைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது .

$n$ ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில்,

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$

இது, $n\geq p^{\nu _{p}(n)}$ என்பதிலிருந்து நேரிடையாகப் பெறப்படுகிறது.

விகிதமுறு எண்கள்

p -வழி மதிப்பீட்டை கீழ்வரும் சார்பாக விகிதமுறு எண்களுக்கும் நீட்டிக்க முடியும்:

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$;

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s).$

எடுத்துக்காட்டாக, $\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$ மற்றும் $\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$ இலிருந்து ${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$.

சில பண்புகள்:

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

மேலும், $\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$ எனில்,

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

p-வழி தனிமதிப்பு

விகிதமுறு எண்களின் கணம் $\mathbb {Q}$ இன் மீதான p -வழி தனிமதிப்பு என்பது பின்வரும் சார்பாக அமையும்:

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

இதன் மூலம்,

$p$ இன் எல்லா மதிப்புகளுக்கும்,

$|0|_{p}=p^{-\infty }=0$ எனப் பெறப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக,

$|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$

${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8.$

p -வழி தனி மதிப்பு பின்வரும் பண்புகளை நிறைவு செய்கிறது.

எதிர்மமற்றதன்மை	$|r|_{p}\geq 0$
நேர்ம-வரைவுத்தன்மை	$|r|_{p}=0\iff r=0$
பெருக்கல் தன்மை	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
ஆர்க்கிமீடியதற்றதன்மை	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$