அலகுமட்டுடைய அணி

கணிதத்தில் அலகுமட்டுடைய அணி (unimodular matrix) என்பது ஒரு சதுர முழுஎண் அணியாகும். மேலும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு +1 அல்லது −1 ஆக இருக்கும். பொதுவாக ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியானது M என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

அலகுமட்டுடைய அணியானது முழுஎண்களில் நேர்மாற்றத்தக்க முழுஎண் அணியாக இருக்கும். ஒரு அணியே அதன் நேர்மாறு அணியாகவும் அமையக்கூடிய முழுஎண் அணிகளும் (N) உண்டு.

எனவே M , b இரண்டும் முழுஎண் அணிகளாகவும் M அலகுமட்டுடைய அணியாகவும் இருந்தால் Mx = b என்ற சமன்பாட்டிற்கு ஒரு முழுஎண் தீர்வு இருக்கும். n வரிசையுள்ள அலகுமட்டுடைய அணிகள் ஒரு குலமாகும். இக்குலத்தின் குறியீடு $GL_{n}(\mathbb {Z} )$ .

எடுத்துக்காட்டுகள்

கீழுள்ள அணிகள் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்கும்:

குலம்

கீழுள்ள முடிவுகளால் அலகுமட்டுடைய அணிகளின் கணமானது அணிப்பெருக்கலின் கீழ் ’பொது நேரியல் குலத்தின்’ உட்குலமாக அமையும்:

இரு அலகுமட்டுடைய குலங்களின் பெருக்குத்தொகையும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.
முற்றொருமை அணி ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக அமைவதால் உட்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக இருக்கும்.
ஒவ்வொரு அலகுமட்டுடைய அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாகும்.

\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{p},

(p , q இரண்டும் முறையே A , B இன் அளவுகள்) என்பதால் குரோனெக்கரின் பெருக்கத்தின்கீழ் இரு அலகுமட்டுடைய அணிகளின் பெருக்கற்பலனும் ஒரு அலகுமட்டுடைய அணியாக இருக்கும்.

முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி

முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி (totally unimodular matrix) ^[1] என்பது, அதன் ஒவ்வொரு சதுர நேர்மாற்றத்தக்க அணியும் அலகுமட்டுடைய அணியாகக் கொண்ட அணியாகும். ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியானது சதுர அணியாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியின் வரையறையிலிருந்து அதன் உறுப்புகள் 0, +1 அல்லது −1 ஆக மட்டுமே இருக்க முடியும் என்று அறியலாம். ஆனால் இதன் மறுதலை உண்மையில்லை; 0, +1 அல்லது −1 ஐ மட்டுமே உறுப்புகளாகக் கொண்ட அணிகள் எல்லாம் அலகுமட்டுடைய அணிகளாக இருக்க வேண்டுமென்றில்லை.

எடுத்துக்காட்டுகள்

$A=\left[{\begin{array}{rrrrrr}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\end{array}}\right].$ ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணியாகும்.

$A=\left[{\begin{array}{ccccc}&\vdots &&\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &+1&\dotsb \\&\vdots &&\vdots \\\dotsb &+1&\dotsb &-1&\dotsb \\&\vdots &&\vdots \end{array}}\right].$ இது ஒரு முழுமையான அலகுமட்டுடைய அணி இல்லை. ஏனென்றால் இதன் ஒரு உள்ளணி, அணிக்கோவை மதிப்பு −2 ஆகக்கொண்டு அலகுமட்டுடைய அணியாக இல்லாமல் உள்ளது.

குறிப்புகள்

↑ The term was coined by Claude Berge, see Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), "Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in M. Jünger et al. (eds.) (ed.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50 {{citation}}: |editor-last= has generic name (help)

மேற்கோள்கள்

Papadimitriou, Christos H.; Steiglitz, Kenneth (1998), "Section 13.2", Combinatorial Optimization: Algorithms and Complexity, Mineola, N.Y.: Dover Publications, p. 316, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-40258-1
Alexander Schrijver (1998), Theory of Linear and Integer Programming. John Wiley & Sons, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-471-98232-6 (mathematical)
Alexander Schrijver (2003), Combinatorial Optimization: Polyhedra and Efficiency, Springer

வெளியிணைப்புகள்

[1] The term was coined by Claude Berge, see Hoffman, A.J.; Kruskal, J. (2010), "Introduction to Integral Boundary Points of Convex Polyhedra", in M. Jünger et al. (eds.) (ed.), 50 Years of Integer Programming, 1958-2008, Springer-Verlag, pp. 49–50 {{citation}}: |editor-last= has generic name (help)

[1]