அலகு (வளையக் கோட்பாடு)

இயற்கணிதத்தில் ஒரு வளையத்தின் அலகு (unit) அல்லது நேர்மாறுடைய அல்லது நேர்மாற்றத்தக்க உறுப்பு (invertible element) என்பது வளையத்தின் பெருக்கற்செயலியைப் பொறுத்த நேர்மாறுடைய உறுப்பாகும். அதாவது, R என்ற வளையத்தின் ஒரு உறுப்பு u ஆனது அவ்வளையத்தின் அலகாக இருக்க வேண்டுமானால் கீழ்வரும் முடிவை நிறைவுசெய்யுமாறு v என்ற ஒரு உறுப்பும் R இல் இருக்க வேண்டும்: $$vu=uv=1,$$ (1 என்பது பெருக்கல் செயலுக்குரிய முற்றொருமை உறுப்பு).

இப்பண்பை நிறைவு செய்யும் v ஆனது தனித்த உறுப்பாகும். அதாவது ஒவ்வொரு வளைய உறுப்பு u க்கும் இப்பண்பை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரேயொரு v தான் இருக்கும். மேலும் v ஆனது u இன் பெருக்கல் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும்|.

R வளையத்தின் அலகு உறுப்புகளைக் கொண்ட கணமானது, பெருக்கலைப் பொறுத்த குலமாக (R^×) இருக்கும். இக்குலம் R வளையத்தின் அலகுகளின் குலம் அல்லது அலகு குலம் (group of units, unit group) எனப்படும். அலகு குலத்திற்கான மற்ற குறியீடுகள்: R^∗, U(R), E(R) (E(R) என்பது செருமானிய வார்த்தை Einheit இலிருந்து பெறப்பட்டது).

"அலகுவுறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "அலகு வளையம்" அல்லது "அலகு அணி" போன்ற வெகுசில இடங்களில், "அலகு" என்பது 1 என்ற பெருக்கல் முற்றொருமை உறுப்பைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இக்குழப்பத்தைத் தவிர்ப்பதற்காக, 1 ஆனது "பெருக்கலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு" என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் பெருக்கல் முற்றொருமை இல்லாத வளையங்களிலிருந்து (ஆங்கிலக் குறியீடு:rng) வேறுபடுத்திக் காட்டுவதற்காகவும் "அலகு உறுப்புள்ள வளையம்" அல்லது "முற்றொருமையுள்ள வளையம்" என்ற தொடர்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டு

• பெருக்கல் முற்றொருமை 1 மற்றும் அதன் கூட்டல் நேர்மாறு −1 ஆகிய இரண்டும் எப்போதும் அலகுகள் ஆகும். பொதுவாக R வளையத்திலுள்ள 1 இன் படிமூலம் ஒவ்வொன்றும் ஒரு அலகாக இருக்கும்:

rⁿ = 1 எனில் rⁿ⁻¹ ஆனது r இன் பெருக்கல் நேர்மாறாகும்.

• சுழியமற்ற வளையத்தில், கூட்டல் முற்றொருமையான '0' ஒரு அலகல்ல. எனவே R^× ஆனது கூட்டலைப் பொறுத்து அடைவுறாதது.
• சுழியமற்ற ஒவ்வொரு உறுப்பும் அலகாகவுள்ள ஒரு சுழியமற்ற வளையமானது (அதாவது, R^× = R ∖ {0}) வகுத்தல் வளையம் எனப்படும். ஒரு பரிமாற்று வகுத்தல் வளையமானது களமாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, மெய்யெண் களம் R இன் அலகு குலம் R ∖ {0}.

முழுவெண் வளையம்

முழு எண் வளையம் Z இல், 1 மற்றும் −1 ஆகிய இரண்டு மட்டுமே அலகுகளாகும்..

மாடுலோ n முழுஎண்கள் வளையத்தில் (Z/nZ), n உடன் சார்பாகா எண்களாகவுள்ள முழுவெண்களைக் கொண்ட முற்றிசைவுத் தொகுதிகள் அலகுகளாக இருக்கும். அவை மாடுலோ n முழுவெண்களின் பெருக்கல் குலமாக அமையும்.

எண் களத்தின் முழுவெண் வளையம்

Z உடன் இருபடி முழுவெண் √3 சேர்த்து வளையம் Z[√3] பெறப்படுகிறது. இவ்வளையத்தில்:

(2 + √3)(2 − √3) = 1; எனவே 2 + √3 ஒரு அலகாகும்;

அத்துடன் அதன் அடுக்குகளும் அலகுகளாக இருக்குமென்பதால் Z[√3] வளையத்திற்கு முடிவிலா அலகுகள் உள்ளன.

பல்லுறுப்புக்கோவைகளும் அடுக்குத் தொடரும்

பரிமாற்று வளையம் R; அதன் பல்லுறுப்புக்கோவை வளையத்தின் (R[x]) அலகுகுகள் கீழுள்ள பல்லுறுப்புக்கோவைகளாக இருக்கும்:

$p(x)=a_{0}+a_{1}x+\dots +a_{n}x^{n}$;

a₀ ஆனது, R இன் அலகு;

பிற கெழுக்களுக்கான ($a_{1},\dots ,a_{n}$) கட்டுப்பாடு: N இன் சில மதிப்புகளுக்கு $a_{i}^{N}=0$ அதாவது அவை இன்ம அடுக்கானவை.

குறிப்பாக R வளையமானது ஆட்களமாகவோ அல்லது குறைக்கப்பட்ட வளையமாகவோ இருந்தால், R[x] இன் அலகுகள், R இன் அலகுகளாக இருக்கும்.

அடுக்குத்தொடர் வளையத்தின் ($R[[x]]$) அலகுகளாகக் கீழுள்ள அடுக்குத்தொடர்கள் இருக்கும்:

$p(x)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$; a₀, R இன் அலகு.

அணிகளின் வளையங்கள்

R வளையத்தின் மீதான n × n சதுர அணிகளின் வளையம் M_n(R) இன் அலகு குலமானது (GL_n(R)) நேர்மாற்றத்தக்க அணிகளின் குலமாகும். பரிமாற்று வளையம் R மீதான சதுர அணிகளின் வளையத்தின் (M_n(R)) ஒரு உறுப்பு A ஆனது, நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க வேண்டுமானால், A இன் அணிக்கோவையானது R இல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே முடியும். அந்நிலையில் A இன் நேர்மாறு அணி A⁻¹ ஐ வெளிப்படையாக A இன் சேர்ப்பு அணியின் வாயிலாக எழுதலாம்.

பொதுவானவை

R வளையத்தின் இரு உறுப்புகள் x, y எனில், $1-xy$ நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் $1-yx$ உம் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்; மேலும் $1-yx$ இன் நேர்மாறு $1+y(1-xy)^{-1}x$ ஆகும் $$(1-yx)^{-1}=\sum _{n\geq 0}(yx)^{n}=1+y\left(\sum _{n\geq 0}(xy)^{n}\right)x=1+y(1-xy)^{-1}x.$$