உட்கோளம்

வடிவவியலில் ஒரு குவிப் பன்முகியின் உட்கோளம் (inscribed sphere insphere) என்பது அப் பன்முகிக்குள் உள்ளடங்கியதும், பன்முகியின் ஒவ்வொரு முகத்தையும் தொடுகின்றதுமான கோளமாகும். பன்முகிக்குள் உள்ளமையும் கோளங்களுக்குள் உட்கோளம் மிகப்பெரிய கோளமாக இருப்பதோடு, அந்தப் பன்முகியின் சுற்றுக்கோளத்தின் இருமமாகவும் இருக்கும். பன்முகியின் உட்கோளத்தின் ஆரம் "உள் ஆரம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

நான்முகியின் உட்கோளம் சிவப்பு வண்ணத்தில். (நடுக்கோளம் பச்சை, சுற்றுக்கோளம் நீல வண்ணம்)

1597 இல், கெப்லர் தனது நூலில் (Mysterium Cosmographicum) தந்துள்ள சூரியக் குடும்பத்தின் மாதிரி. அக்காலத்தில் அறியப்பட்டிருந்த சூரியக் குடும்பத்தின் ஆறு கோள்கள், பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் மற்றும் அவற்றின் சுற்றுக்கோளம், உட்கோளங்களுடன் மாதிரிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன.

பொருள் விளக்கம்

எல்லா ஒழுங்கு பன்முகிகளுக்கும் உட்கோளம் உண்டு. ஆனால் பெரும்பாலான ஒழுங்கற்ற பன்முகிகளுக்கு, அவற்றுக்குள் அடங்கக்கூடிய மிகப் பெரிய கோளம் இருந்தாலும், அவற்றின் எல்லா முகங்களையும் தொடுகின்ற பொதுக் கோளம் இருப்பதில்லை. இதுபோன்ற வேளைகளில் உட்கோளம் என்ற கருத்து முறையாக வரையறுக்கப்படாதது போலத் தோன்றுகிறது. மேலும் உட்கோளம் என்பது கீழுள்ளவாறு பலவிதமாகப் புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது:

• பன்முகியின் எல்லா முகங்களையும் தொடுகின்ற ஒரு கோளம் இருக்குமானல், அது உட்கோளம்.
• பன்முகியின் எல்லா முகங்களின் தளங்களையும் தொடுகின்ற கோளம் இருக்குமானால் அது உட்கோளம்.
• பன்முகியின் குறிப்பிட்ட முகங்களைத் தொடுகின்ற கோளம் இருக்குமானால் அது உட்கோளம்.
• பன்முகிக்குள் பொருத்தக் கூடிய மிகப்பெரிய கோளம், உட்கோளம்.

பெரும்பாலான பன்முகிகளுக்கு மேலேயுள்ள கோளங்கள் எல்லாம் ஒன்றாக அமையும். எனவே அவ்வாறு ஒன்றாக அமையாத பன்முகிகளுக்கு உட்கோளத்தின் வரையறை எதுவென்ற குழப்பம் நேர்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒழுங்கு சிறு நாள்மீன் பன்னிரு முகிகளுக்கு எல்லா முகங்களயும் தொடுகின்ற கோளமும், உள்ளே பொருத்தக்கூடிய மிகப் பெரிய கோளமும் உண்டு. இரண்டில் எதனை உட்கோளமாகக் கொள்வது என்ற கேள்வி எழுகிறது. கோஎக்சிட்டர் அல்லது கன்டி & ரோலட்டு போன்றோர் எல்லா முகங்களையும் தொடுகின்ற கோளமே உட்கோளம் என்கின்றனர். அதேவேளை இவர்கள், ஆர்க்கமீடியப் பன்முகிகளுக்கு உட்கோளம் கிடையாது என்பதையும் ஆனால் ஆர்க்கமீடிய இருமங்களுக்கு (கேட்டலான் திண்மங்கள்) உட்கோளம் உள்ளது என்பதையும் ஏற்றுக்கொள்கின்றனர். பல அறிஞர்கள் இந்த வேறுபாடுகளை கருத்தில் எடுத்துக்கொள்ளாமல் பன்முகிகளின் உட்கோளங்களுக்கு பிற வரையறைகளை எடுத்துக்கொள்கின்றனர்.

மேற்கோள்கள்

• Coxeter, H.S.M. Regular Polytopes 3rd Edn. Dover (1973).
• Cundy, H.M. and Rollett, A.P. Mathematical Models, 2nd Edn. OUP (1961).

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Insphere", MathWorld.