சுற்றுக்கோளம்

வடிவவியலில் ஒரு பன்முகியின் சுற்றுக்கோளம் (circumscribed sphere) என்பது அப்பன்முகியை உள்ளடக்கியவாறு அதன் ஒவ்வொரு உச்சியையும் தொட்டுக்கொண்டு அமையும் ஒரு கோளமாகும்.^[1]^[2] சுற்றுக்கோளமானது, இருபரிமாணத்தில் வரையறுக்கப்பட்டுள்ள சுற்றுவட்டம் என்பதற்கு இணையான முப்பரிமாணக் கருத்துரு ஆகும். சுற்று வட்டங்களைப் போலவே ஒரு பன்முகியின் சுற்றுக் கோளத்தின் ஆரமானது "சுற்றுக்கோள ஆரம்" எனவும் சுற்றுக்கோளத்தின் மையமனது "சுற்றுக்கோள மையம்" எனவும் அழைக்கப்படுகின்றன.^[3]^[4]

எல்லா ஒழுங்கு பன்முகிகளுக்கும் சுற்றுக்கோளங்கள் இருக்கும். ஆனால் ஒழுங்கற்றப் பன்முகிகள் எல்லாவற்றிலும் அவற்றின் உச்சிகள் ஒரே கோளத்தின் மீது அமைந்திருக்காது என்பதால் எல்லா ஒழுங்கங்கற்றப் பன்முகிகளுக்கும் சுற்றுக்கோளங்கள் இருக்காது. நடுக்கோளம், உட்கோளம் இரண்டும் பன்முகிகள் தொடர்புடைய பிற கோளங்களாகும். நடுக்கோளம், பன்முகியின் எல்லா விளிம்புகளையும் தொட்டுக்கொண்டு அமைந்திருக்கும். உட்கோளம், பன்முகியின் எல்லா முகங்களையும் தொடும். ஒழுங்குப் பன்முகிகளுக்கு சுற்றுக்கோளம், நடுக்கோளம், உட்கோளம் மூன்றும் இருக்கும். ஒரு ஒழுங்குப் பன்முகிக்குரிய இம்மூன்று கோளங்களும் பொதுமையக் கோளங்களாக (ஒரே மையத்தைக் கொண்டவை) இருக்கும்.^[5]

இருப்பும் உகமமும்

ஒரு பன்முகிக்கு சுற்றுக்கோளம் இருக்குமானால் அது அப் பன்முகியினை உள்ளடக்கிய மிகச்சிறிய கோளமாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, கனசதுரத்தின் ஒரு உச்சியையும் அதன் அண்மை உச்சிகள் மூன்றையும் கொண்டு உருவாக்கப்படும் நான்முகியின் சுற்றுக்கோளமும் மூலக் கனதுரத்தின் சுற்றுக்கோளமாக ஒன்றாக இருக்கும். ஆனால் மூன்று அண்மை உச்சிகளை தன் நடுக்கோட்டின் மீது கொண்ட, மேற்படி சுற்றுக்கோளத்தைவிடச் சிறியதொரு கோளத்துக்குள் அந்த நான்முகி உள்ளடங்கி அமையும். எந்தவொரு பன்முகிக்கும், அதனை உள்ளடக்கும் மிகச்சிறிய கோளமானது, அப்பன்முகியின் உச்சிகளின் ஒரு உட்கணத்தின் குவிமேலோட்டின் (convex hull) சுற்றுக்கோளமாக இருக்கும்.^[6]

ரெனே டேக்கார்ட் (De solidorum elementis, circa 1630)சுற்றுக்கோளமுடைய ஒரு பன்முகியின் எல்லா முகங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருக்குமென்று கண்டறிந்தார். இந்த சுற்று வட்டங்கள் அந்தந்த முகங்களின் தளங்கள், பன்முகியின் சுற்றுக்கோளத்தைச் சந்திக்கும் வட்டங்களாகும். மேலும் அவர் ஒரு பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமொன்று இருப்பதற்குத் தேவையான கட்டுப்பாடாக உள்ள இக்கூற்று போதுமானதுமான கட்டுப்பாடாகவும் இருக்கும் என்றும் கருதினார். அதாவது ஒரு பன்முகியின் எல்லா முகங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருந்தால் அப்பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமும் இருக்கும் என்பது அவரது கருத்து. ஆனால் அது சரியான கூற்று இல்லை. எடுத்துக்காட்டாக, இதனை இருபட்டைக்கூம்பைக் கொண்டு அறியலாம். ஒரு இருபட்டைக்கூம்பின் எல்லா முகங்களுக்கும் (முக்கோணங்கள்) சுற்று வட்டங்கள் இருக்கலாம். ஆனால் இருபட்டைக் கூம்பிற்கு சுற்றுக்கோளம் கிடையாது.

எனினும் ரெனே டெக்கார்ட்டின் கருத்து ஒரு எளிய பன்முகிக்குப் பொருந்தும். அதாவது, ஒரு எளிய பன்முகியின் எல்லாப் பக்கங்களுக்கும் சுற்று வட்டங்கள் இருக்குமானால் அப்பன்முகிக்குச் சுற்றுக்கோளமும் இருக்கும்.^[7]

சுறுக்கோளத்தின் மீதமையும் புள்ளி

ஒழுங்குப் பன்முகிகளான பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்கள் ஐந்திற்கும் ஒவ்வொரு சுற்றுக்கோளம் உண்டு. ஒரு பிளேட்டோவின் சீர்திண்மத்தின் மீதுள்ள ஏதாவது ஒரு புள்ளி $M$ மற்றும் அந்தச் சீர்திண்மத்தின் உச்சிகளின் எண்ணிக்கை $n,$ அப்புள்ளிக்கும் பன்முகியின் உச்சிகள் $A_{i}$ ஆகியவற்றுக்கு இடைப்பட்ட தூரங்கள் $MA_{i}$ எனில்,^[8]

4(MA_{1}^{2}+MA_{2}^{2}+...+MA_{n}^{2})^{2}=3n(MA_{1}^{4}+MA_{2}^{4}+...+MA_{n}^{4}).

மேற்கோள்கள்

↑ James, R. C. (1992), The Mathematics Dictionary, Springer, p. 62, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780412990410.
↑ Popko, Edward S. (2012), Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere, CRC Press, p. 144, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781466504295.
↑ Smith, James T. (2011), Methods of Geometry, John Wiley & Sons, p. 419, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781118031032.
↑ Altshiller-Court, Nathan (1964), Modern pure solid geometry (2nd ed.), Chelsea Pub. Co., p. 57.
↑ Coxeter, H. S. M. (1973), "2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation", Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 16–17, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-61480-8.
↑ Fischer, Kaspar; Gärtner, Bernd; Kutz, Martin (2003), "Fast smallest-enclosing-ball computation in high dimensions", Algorithms - ESA 2003: 11th Annual European Symposium, Budapest, Hungary, September 16-19, 2003, Proceedings (PDF), Lecture Notes in Computer Science, vol. 2832, Springer, pp. 630–641, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-540-39658-1_57.
↑ Federico, Pasquale Joseph (1982), Descartes on Polyhedra: A Study of the "De solidorum elementis", Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences, vol. 4, Springer, pp. 52–53
↑ Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications 11: 335–355. https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065.

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Circumsphere", MathWorld.

[1] James, R. C. (1992), The Mathematics Dictionary, Springer, p. 62, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9780412990410.

[2] Popko, Edward S. (2012), Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere, CRC Press, p. 144, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781466504295.

[3] Smith, James T. (2011), Methods of Geometry, John Wiley & Sons, p. 419, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9781118031032.

[4] Altshiller-Court, Nathan (1964), Modern pure solid geometry (2nd ed.), Chelsea Pub. Co., p. 57.

[5] Coxeter, H. S. M. (1973), "2.1 Regular polyhedra; 2.2 Reciprocation", Regular Polytopes (3rd ed.), Dover, pp. 16–17, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-61480-8.

[fgk-6] Fischer, Kaspar; Gärtner, Bernd; Kutz, Martin (2003), "Fast smallest-enclosing-ball computation in high dimensions", Algorithms - ESA 2003: 11th Annual European Symposium, Budapest, Hungary, September 16-19, 2003, Proceedings (PDF), Lecture Notes in Computer Science, vol. 2832, Springer, pp. 630–641, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-540-39658-1_57.

[7] Federico, Pasquale Joseph (1982), Descartes on Polyhedra: A Study of the "De solidorum elementis", Sources in the History of Mathematics and Physical Sciences, vol. 4, Springer, pp. 52–53

[Mamuka-8] Meskhishvili, Mamuka (2020). "Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids". Communications in Mathematics and Applications 11: 335–355. https://www.rgnpublications.com/journals/index.php/cma/article/view/1420/1065.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]