கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி

கணிதத்தில், இரு நேர்ம மெய்யெண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி (arithmetic–geometric mean -AGM அல்லது agM) என்பது கூட்டுச் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்கும், பெருக்கல் சராசரிகளின் தொடர்வரிசைக்குமான இணை எல்லையைக் குறிக்கும். கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது, அடுக்குக்குறிச் சார்புகள், முக்கோணவியல் சார்புகள், மற்ற சிறப்பு சார்புகள் ஆகியவற்றுக்கான விரைவு படிமுறைத் தீர்வுகளிலும், π போன்ற சில கணித மாறிலிகளைக் கணக்கிடுவதற்கும் பயன்படுகிறது.

(1, x) இன் பல்வேறு சராசரிகளுக்கிடையே, வரையப்பட்டுள்ள கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் வரைபடம்.

$a_{i},$ $g_{i}$ ஆகிய இரு ஒன்றுக்கொன்று சார்ந்த தொடர்வரிசைகளின் எல்லையாக கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி வரையறுக்கப்படுகிறது:

$${\begin{aligned}a_{0}&=x,\\g_{0}&=y\\a_{n+1}&={\tfrac {1}{2}}(a_{n}+g_{n}),\\g_{n+1}&={\sqrt {a_{n}g_{n}}}\,.\end{aligned}}$$

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் எல்லைகளும் x, y இரண்டின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரிக்குச் சமமாக இருக்கும். இது M(x, y), agm(x, y), AGM(x, y) எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியை சிக்கலெண்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வர்க்க மூலத்தின் இரு கிளைகளையும் முரண்பட்டு எடுத்துக்கொள்ளப்படும்போது, பொதுவாகக் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு

a₀ = 24, g₀ = 6 இன் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி காணும் தொடர்படிகள்:

$${\begin{array}{rcccl}a_{1}&=&{\tfrac {1}{2}}(24+6)&=&15\\g_{1}&=&{\sqrt {24\cdot 6}}&=&12\\a_{2}&=&{\tfrac {1}{2}}(15+12)&=&13.5\\g_{2}&=&{\sqrt {15\cdot 12}}&=&13.416\ 407\ 8649\dots \\&&\vdots &&\end{array}}$$

முதல் ஐந்து தொடர்முறையால் கிடைக்கும் மதிப்புகள்:

n	an	gn
0	24	6
1	15	12
2	13.5	13.416 407 864 998 738 178 455 042...
3	13.458 203 932 499 369 089 227 521...	13.458 139 030 990 984 877 207 090...
4	13.458 171 481 745 176 983 217 305...	13.458 171 481 706 053 858 316 334...
5	13.458 171 481 725 615 420 766 820...	13.458 171 481 725 615 420 766 806...

இவ்விரு தொடர்வரிசைகளின் பொது எல்லையே 24, 6 ஆகிய இரு எண்களின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியாகும். அதன் தோராய மதிப்பு: 13.4581714817256154207668131569743992430538388544.

வரலாறு

இந்த சோடி தொடர்வரிசைகளை அடிப்படையாகக் கொண்ட முதல் படிமுறைத்தீர்வு, கணிதவியலாளர் லாக்ராஞ்சியின் ஆய்வுகளில் காணப்பட்டது. மேற்கொண்டு, அதன் பண்புகள் கணிதவியலாளர் காஸால் பகுத்தாய்வு செய்யப்பட்டன.

பண்புகள்

• இரு நேர்ம எண்களின் பெருக்கல் சராசரி, ஒருபோதும் கூட்டுச் சராசரியைவிடப் பெரியதாக இருக்காது. எனவே பெருக்கல் சராசரிகள் (g_n), கூடும் தொடர்வரிசையாகவும், கூட்டுச் சராசரிகள் (a_n), குறையும் தொடர்வரிசையாகவும் இருக்கும். மேலும் g_n ≤ M(x, y) ≤ a_n ஆகவும் இருக்கும். x ≠ y எனில் இவை கண்டிப்பான சமனிலிகளாக இருக்கும்.

M(x, y) இன் மதிப்பு, x, y இரண்டின் பெருக்குச் சராசரிக்கும் கூட்டுச் சராசரிக்கும் இடைப்பட்ட ஓர் எண்ணாக இருப்பதோடு, x, y இரண்டிற்கும் இடைப்பட்டதாகவும் இருக்கும்.

• r ≥ 0 எனில், M(rx,ry) = r M(x,y).

• M(x,y) இன் தொகையீட்டு-வடிவம்:

$${\begin{aligned}M(x,y)&={\frac {\pi }{2}}\left(\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}\right)^{-1}\\&=\pi \left(\int _{0}^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {t(t+x^{2})(t+y^{2})}}}\right)^{-1}\\&={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}\end{aligned}}$$

இதில் K(k) என்பது, முதல்வகை முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு:

$$K(k)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}$$

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி, விரைவாக ஒருங்குவதால், நீள்வட்ட தொகையீடுகளைக் கணிப்பதற்குத் திறனுள்ள வழியைத் தருகிறது.

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியானது ஜேக்கோபி தீட்டா சார்புடன் ( $\theta _{3}$) கீழுள்ளவாறு இணைக்கப்படுகிறது:

$$M(1,x)=\theta _{3}^{-2}\left(\exp \left(-\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }\exp \left(-n^{2}\pi {\frac {M(1,x)}{M\left(1,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}}\right)\right)^{-2},$$

இதில் $x=1/{\sqrt {2}}$ எனக் கொள்ள கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கும்:

$$M(1,1/{\sqrt {2}})=\left(\sum _{n\in \mathbb {Z} }e^{-n^{2}\pi }\right)^{-2}.$$

தொடர்புள்ள கருத்துருக்கள்

1, 2 இன் வர்க்கமூலம் ஆகியவற்றின் கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தலைகீழி காஸின் மாறியாகும்:

$${\frac {1}{M(1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots$$

1799 இல், காஸ் பின்வரும் முடிவை நிறுவினார்.

$$M(1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }};$$

$\varpi$ என்பது கிடையெட்டுவடிவ மாறிலி.

1941 இல், $M(1,{\sqrt {2}})$ (and hence $G$) ஆனது விஞ்சிய எண் எனச் செருமானியக் கணிதவியலாளர் தியோடர் சினைடெரால் நிறுவப்பட்டது.

$\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}})\}$ என்ற கணம், $\mathbb {Q}$ இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது ஆனால் $\{\pi ,M(1,1/{\sqrt {2}}),M'(1,1/{\sqrt {2}})\}$ (இதிலுள்ள மேற்சுட்டு ' என்பது இரண்டாவது மாறியைப் பொறுத்த வகையிடலைக் குறிக்கிறது) என்ற கணம் $\mathbb {Q}$ இன் மீது இயற்கணித சார்பற்றது அல்ல. மேலும்,

$$\pi =2{\sqrt {2}}{\frac {M^{3}(1,1/{\sqrt {2}})}{M'(1,1/{\sqrt {2}})}}.$$

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியைப் போலவே, பெருக்குச் சராசரி, இசைச் சராசரி ஆகிய இரண்டின் தொடர்வரிசைகளின் மூலம் பெருக்கு-இசைச் சராசரியை (GH), பெறலாம்:

GH(x,y) = 1/M(1/x, 1/y) = xy/M(x,y).

கூட்டு-இசைச் சராசரியானது, பெருக்கல் சராசரிக்குச் சமானமானதாக இருக்கும்.

மடக்கைகள், முழுமையான முதல், இரண்டாம் வகை நீள்வட்டத் தொகையீடுகள், முழுமையற்ற முதல், இரண்டாம் வகைநீள்வட்டத் தொகையீடுகளின் முதல், இரண்டாம் வகைத் தொகையீடுகள், ஜேக்கோபி நீள்வட்டச் சார்புகள்ஆகியவற்றைக் கணிப்பதற்குக், கூட்டு-பெருக்குச் சராசரி பயன்படுகிறது.

இருத்தலுக்கான நிறுவல்

கூட்டு, பெருக்கல் சராசரிகளின் சமனிலியின் விளைவாக

$$g_{n}\leq a_{n}$$

என்ற முடிவு கிடைக்கிறது. இதிலிருந்து

$$g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geq {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}$$

எனப் பெறலாம். அதாவது g_n என்ற தொடர்வரிசையானது குறையாத் தொடர்வரிசையாகவும் x, y ஆகிய இரண்டில் பெரியதைவிட அதிகவளவு வரம்புடையதாகவும் இருக்கும்.

மேலும், ஒருபோக்கு ஒருங்கல் தேற்றத்தின்படி, இத்தொடர்வரிசை, ஒருங்குமென்பதால்,

$$\lim _{n\to \infty }g_{n}=g$$

என்பதை நிறைவு செய்யும்விதத்தில் ஒரு g இருக்கும்.

மேலும்,

$$a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}$$

என்பதால் கீழுள்ள முடிவு கிடைக்கிறது:

$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g$$

தொகையீட்டு வடிவின் நிறுவல்

கூட்டு-பெருக்குச் சராசரியின் தொகையீட்டு வடிவம், காஸால் நிறுவப்பட்டது.

$$I(x,y)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},$$

என எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

$$\sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$$

என்றமையும் $\theta '$ வுக்கு தொகையீட்டின் மாறியை மாற்ற:

$$\cos \theta ={\frac {\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},$$

$$\cos \theta \ d\theta =2x{\frac {(x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}\ \cos \theta 'd\theta '\ ,$$

$$d\theta ={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}d\theta '\ ,$$

$$x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta ={\frac {x^{2}((x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta ')+4x^{2}y^{2}\sin ^{2}\theta '}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}={\frac {x^{2}((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')^{2}}}$$

$$\implies {\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}}={\frac {2x\cos \theta '((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '){\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}}}{\frac {((x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta ')}{x((x+y)-(x-y)\sin ^{2}\theta ')}}={\frac {2\cos \theta 'd\theta '}{\sqrt {(x+y)^{2}-2(x^{2}+y^{2})\sin ^{2}\theta '+(x-y)^{2}\sin ^{4}\theta '}}},$$

$$\implies$$

$${\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}$$

எனவே கிடைப்பது,

$${\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}=\pi /{\bigr (}2M(x,y){\bigl )}.\end{aligned}}$$

$I(z,z)=\pi /(2z)$ என்பதிலிருந்து மேலுள்ள கூற்றிலுள்ள இறுதிச் சமன் கிடைக்கிறது.

$$\implies$$

,

$$M(x,y)=\pi /{\bigl (}2I(x,y){\bigr )}.$$

பயன்பாடுகள்

π என்ற எண்

காஸ்-இலெஜன்ட்ரே படிமுறைத்தீர்வின்படி:

$\pi ={\frac {4\,M(1,1/{\sqrt {2}})^{2}}{1-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }2^{j+1}c_{j}^{2}}},$

இதில்,

$c_{j}={\frac {1}{2}}\left(a_{j-1}-g_{j-1}\right),$ ,$a_{0}=1;$ $g_{0}=1/{\sqrt {2}}$,

$c_{j}={\frac {c_{j-1}^{2}}{4a_{j}}},$ என்பதைப் பயன்படுத்தி நுட்பமாகக் கணிக்கலாம்.

முழுமையான நீள்வட்டத் தொகையீடு, K(sinα)

$a_{0}=1,$ $g_{0}=\cos \alpha$ என எடுத்துக்கொள்ளக் கிடைக்கும் கூட்டு-பெருக்குச் சரசரி:

$M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},$

$M(1,\cos \alpha )={\frac {\pi }{2K(\sin \alpha )}},$

$\implies K(\sin \alpha )={\frac {\pi }{2M(1,\cos \alpha )}}.$

$\implies K(k)={\frac {\pi }{2M(1,\cos \alpha )}}.$

$\implies K(k)={\frac {\pi }{2M(1,{\sqrt {1-k^{2}}})}}.$

இதிலுள்ள K(k) ஆனது, முழுமையான முதல்வகை நீள்வட்டத் தொகையீடு, $K(k)=\int _{0}^{\pi /2}(1-k^{2}\sin ^{2}\theta )^{-1/2}\,d\theta .$ ஆகும்.

மேற்கோள்கள்