பன்மதிப்புச் சார்பு

கணிதத்தில் பன்மதிப்புச் சார்பு (multivalued function) என்பது ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் குறைந்தது ஒரு வெளியீடு கொண்டதொரு இடது-முழு உறவு. அதாவது இவ்வுறவின்படி ஒவ்வொரு உள்ளீட்டிற்கும் ஒன்று அல்லது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வெளியீடுகள் இருக்கும்.

இப்படம் ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பைக் குறிக்கும். ஆனால் X ல் உள்ள உறுப்பு 3, Y -ல் உள்ள இரு உறுப்புகள் b மற்றும் c -உடன் இணைக்கப்படுவதால் இது ஒரு சார்பைக் குறிக்காது.

நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு சார்பானது ஒரு குறிப்பிட்ட உள்ளீட்டிற்கு ஒரேயொரு வெளியீட்டை மட்டுமே இணைக்கும். சார்புகளின் வரையறைப்படி அவை ஒரேயொரு மதிப்புடையனவாக மட்டுமே இருக்க முடியும். எனவே இத்தொடர்பின் பெயரான பன்மதிப்புச் சார்பு என்பது தவறாக இதை ஒரு சார்பு என தவறாகக் கருத வழிவகுக்கலாம். உள்ளிடு சார்பாக அமையாத சார்புகளிலிருந்து பன்மதிப்புச் சார்பு என அழைக்கப்படும் இவ்வுறவுகள் எழுகின்றன. உள்ளிடு அல்லாத சார்புகளுக்கு நேர்மாறுச் சார்புகள் கிடையாது. அவற்றுக்கு நேர்மாறு உறவுகள் மட்டுமே உண்டு. இந்த நேர்மாறு உறவுகளை ஒத்தவை பன்மதிப்புச் சார்புகள்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• பூச்சியத்தை விட பெரிதான ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணுக்கும் அல்லது பூச்சியமல்லாத ஒவ்வொரு கலப்பெண்ணுக்கும் இரண்டு வர்க்கமூலங்கள் உள்ளன.
• ஒவ்வொரு கலப்பெண்ணுக்கும் மூன்று கனமூலங்கள் உள்ளன.
• கலப்பெண் மடக்கை ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு.

log(1) க்கு பன்மதிப்புகள் உள்ளன:

$\log(1)=2\pi ni,$ $n$ ஒரு முழு எண்.

• முக்கோணவியல் சார்புகள் காலமுறையுள்ளவை என்பதால் அவற்றின் நேர்மாறு முக்கோணவியல் சார்புகள் பன்மதிப்புடையவை:

$\tan \left({\textstyle {\frac {\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {5\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {-3\pi }{4}}}\right)=\tan \left({\textstyle {\frac {(2n+1)\pi }{4}}}\right)=\cdots =1.$

$\arctan(1)=\pi /4=5\pi /4,=-3\pi /4=...,$

arctan -ஒரு பன்முகச் சார்பு. ஆனால் இது ஒரு சார்பாக அமையவேண்டுமானால் tan x -ன் ஆட்களம் இடைவெளி -π/2 < x < π/2 – ஆக கட்டுப்படுத்தப்பட வேண்டும்.

• வரையறுக்கப்படாத தொகையீடுகள் மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் பன்மதிப்புச் சார்பாகும். ஒரு சார்பின் வரையறுக்கப்படாத தொகையீடு என்பது அச்சார்பை வகைக்கெழுவாகக் கொண்ட சார்புகள் ஆகும்.

மேற்காணும் எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளிடு அல்லாத சார்புகளில் இருந்து அமைந்த பன்மதிப்புச் சார்பின் எடுத்துக்காட்டுகளாகும். பெரும்பாலும் கட்டுப்படுத்தப்பட்ட ஒரு பன்மதிப்புச் சார்பு, மூலச் சார்பின் பகுதி நேர்மாறுச் சார்பாக அமையும்.

மேற்கோள்கள்

• Jean-Pierre Aubin, Arrigo Cellina Differential Inclusions, Set-Valued Maps And Viability Theory, Grundl. der Math. Wiss., vol. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
• J.-P. Aubin and H. Frankowska Set-Valued Analysis, Birkhäuser, Basel, 1990
• Klaus Deimling Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, 1992
• Kleinert, Hagen, Multivalued Fields in in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) பரணிடப்பட்டது 2008-03-15 at the வந்தவழி இயந்திரம் (also available online)
• Kleinert, Hagen, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I, "SUPERFLOW AND VORTEX LINES", pp. 1–742, Vol. II, "STRESSES AND DEFECTS", pp. 743–1456, World Scientific (Singapore, 1989); Paperback பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 9971-5-0210-0 (also available online: Vol. I and Vol. II)
• Aliprantis, Kim C. Border Infinite dimensional analysis. Hitchhiker's guide Springer
• J. Andres, L. Górniewicz Topological Fixed Point Principles for Boundary Value Problems, Kluwer Academic Publishers, 2003
• Topological methods for set-valued nonlinear analysis, Enayet U. Tarafdar, Mohammad Showkat Rahim Chowdhury, World Scientific, 2008, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-981-270-467-2