ஈருறுப்பு உறவு
கணிதத்தில் ஒரு கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு (binary relation) என்பது அக்கணத்தின் உறுப்புகளாலான வரிசைச் சோடிகளின் தொகுப்பு ஆகும்.
- அதாவது A கணத்த்தின் மீது வரையறுக்க்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவானது, A கணத்தின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலனின் (A2 = A × A) உட்கணமாக இருக்கும்.
- A , B எனும் இரு கணங்களுக்கு இடையேயான ஈருறுப்பு உறவு A × B இன் உட்கணம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
- முடிவுறு கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
- A = {1, 2, 3, 4, 5}
- இக்கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படும் விடப் பெரியது என்ற ஈருறுப்பு உறவு:
- முடிவுறா கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் ஈருறுப்பு உறவு
பகா எண்களின் கணம் P, முழு எண்களின் கணம் Z இரண்டுக்கும் இடையே வரையறுக்கப்படும் வகுஎண் என்ற உறவு ஈருறுப்பு உறவாகும். ஒவ்வொரு பகா எண் p ம் அதன் மடங்காக அமையும் ஒவ்வொரு முழுஎண்ணுடன் "வகுஎண்" என்ற உறவின் கீழ் தொடர்பு கொண்டுள்ளது. p இன் மடங்காக அமையாத முழுஎண்களுடன் p தொடர்பு கொண்டிருக்காது. பகாஎண் 2 ஆனது ...−4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10.... போன்ற இரண்டின் மடங்குகளோடு (இரட்டை முழுஎண்கள்) தொடர்புடையது, ஆனால் 1 , 3, 9 போன்ற இரண்டின் மடங்கற்ற (ஒற்றை எண்கள்) முழுஎண்களுடன் தொடர்பு கொண்டிருக்காது
கணிதத்தில் "விடப் பெரியது, விடச் சிறியது", "சமன்"; எண்கணிதத்தில் "வகுக்கும்"; வடிவவியலில் "சர்வசமம்"; கோட்டுருவவியலில் "அடுத்துள்ளது";நேரியல் இயற்கணிதத்தில் "செங்குத்தானது" போன்ற கருத்துருக்களுக்கு ஈருறுப்பு உறவு பயன்படுத்தப்படுகிறது. ஈருறுப்பு உறவின் சிறப்புவகைக் கருத்துருவாக சார்பு வரையறுக்கப்படுகிறது. கணினியியலிலும் ஈருறுப்பு உறவு மேலதிகப் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது.
வரையறை
தொகு(X, Y, G) என்ற மும்மையால் ஈருறுப்பு உறவு R குறிக்கப்படுகிறது. இதில், X , Y எவையேனும் இரு கணங்கள். இவ்விரு கணங்களின் கார்ட்டீசியன் பெருக்கற்பலன் X × Y இன் உட்கணம் G . X , Y இரண்டும் முறையே ஈருறுப்பு உறவின் ஆட்களம், இணையாட்களம் என்றும், G - உறவின் வரைபடம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன.
(x,y) ∈ G எனில் x , R-இன் கீழ் y உடன் உறவு கொண்டிருக்கும்.
- இதன் குறியீடு:
- xRy (அல்லது) R(x,y)
- R(x,y) என்ற குறியீட்டின் காரணமாக, X × Y இன் மீதான சுட்டுச் சார்பாக R எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது.
G இல் உள்ள ஒவ்வொரு சோடிக்கும் வரிசை முக்கியமானது. a ≠ b எனில் aRb , bRa இரண்டும் ஒன்றையொன்று சாராமல் உண்மையாகவோ அல்லது உண்மையில்லாமலோ இருக்கும். முழுஎண்கள் கணத்தில் வகுஎண் என்ற ஈருறுப்பு உறவை எடுத்துக்கொண்டால், 3, 9 ஐ வகுக்கும், 3R9 என்பது உண்மை. ஆனால் 9, 3 ஐ வகுக்காது என்பதால் 9R3 என்பது உண்மை இல்லை.
(X, Y, G) என்ற மும்மையால் வரையறுக்கப்படும் உறவு சிலசமயங்களில் தொடர்பு எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.[1]
ஒரே வரைபடம் கொண்ட இரு உறவுகளின் ஆட்களங்களோ அல்லது இணையாட்களங்களோ வெவ்வேறாக இருந்தால் அவ்வுறவுகளும் வெவ்வேறானவை. எடுத்துக்காட்டாக, எனில்,
- ,
- ,
- மூன்றும் வெவ்வேறு உறவுகள் ( முழு எண்கள் கணம், மெய்யெண்கள் கணம், இயல் எண்கள் கணம்).
- கணக் கோட்பாட்டில்
கணக் கோட்பாட்டில், ஈருறுப்பு உறவுகள் வரிசைச் சோடிகளாக வரையறுக்கப்படுகின்றன[2][3][4]. ஆட்களம்:
வீச்சு:
ஈருறுப்பு உறவு:
பொதுவான ஈருறுப்பு உறவுகள்
தொகு- வரிசை உறவுகள்
- விடப் பெரியது
- விடப் பெரியது அல்லது சமம்
- விடச் சிறியது
- விடச் சிறியது அல்லது சமம்
- வகுக்கும்
- உட்கணம்
- சமான உறவுகள்
- சார் உறவு - ஒரு முடிவுறு, சமச்சீர், எதிர்வு உறவு
- சாரா உறவு - ஒரு சமச்சீர், எதிர்வற்ற உறவு. சார், சாரா உறவுகள் ஒன்றுக்கொன்று நிரப்பிகள்.
ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை
தொகுn-உறுப்புகள் கொண்ட கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்படக்கூடிய வெவ்வேறான ஈறுருப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை 2n2 (OEIS-இல் வரிசை A002416)
பல்வேறு n-உறுப்பு ஈருறுப்பு உறவுகளின் எண்ணிக்கை | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
n | அனைத்தும் | கடப்பு | எதிர்வு | முன்வரிசை உறவு | பகுதி வரிசை உறவு | முழு முன்வரிசை உறவு | முழு வரிசை உறவு | சமான உறவு |
0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
1 | 2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 16 | 13 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 2 |
3 | 512 | 171 | 64 | 29 | 19 | 13 | 6 | 5 |
4 | 65536 | 3994 | 4096 | 355 | 219 | 75 | 24 | 15 |
OEIS | A002416 | A006905 | A053763 | A000798 | A001035 | A000670 | A000142 | A000110 |
வகைகள்
தொகுX கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R இன் சில வகைகள்:
- எடுத்துக்காட்டு:
- ∀ x, x ≥ x என்பது உண்மை என்பதால்
- "விடப்பெரியது அல்லது சமம்" (≥) என்பது எதிர்வு உறவு
- எதிர்வற்றது
- எந்தவொரு எண்ணும் அதே எண்ணை விடப் பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதால் "விடப் பெரியது" என்பது எதிர்வற்ற உறவு.
- விடப்பெரியது அல்லது சமம் ( ≥ ) ஒரு எதிர்சமச்சீர் உறவு.[5]
- ஒரு உறவு, எதிர்சமச்சீரானதாகவும், எதிர்வற்றதாகவும் ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது சமச்சீரற்றதாக இருக்க முடியும்[6].
- ஒரு கடப்பு உறவு சமச்சீரற்றதாக ‘இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அது எதிர்வற்றதாகும்.[7]
- அதாவது, xRy, yRx , x = y ஆகிய மூன்றில் ஏதாவது ஒன்று மட்டுமே உண்மையாகும்.
ஈருறுப்பு உறவுகள் மீதான செயலிகள்
தொகுX , Y கணங்கள் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவுகள் R, S எனில் கீழே தரப்பட்டுள்ளவையும் X , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவாக இருக்கும்:
- ஒன்றிப்பு
- R ∪ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R அல்லது (x, y) ∈ S } எனில்:
- R ∪ S ⊆ X × Y
- எடுத்துக்காட்டு: > , = ஆகிய இரு ஈருறுப்பு உறவுகளின் ஒன்றிப்பு ≥ .
- வெட்டு
- R ∩ S = { (x, y) | (x, y) ∈ R மற்றும் (x, y) ∈ S } எனில்:
- R ∩ S ⊆ X × Y
- தொகுப்பு
- X , Y கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R; Y , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு S எனில், இவ்விரு உறவுகளின் தொகுப்பு, X , Z கணங்களின் மீதான ஈருறுப்பு உறவாகும்.
- நேர்மாறு அல்லது மறுதலை
- R இன் நேர்மாறு:
- R −1 = { (y, x) | (x, y) ∈ R }.
- எடுத்துக்காட்டு:
"விடச் சிறியது" (<) -இதன் நேர்மாறு "விடப் பெரியது" (>).
X கணத்தின் மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில் கீழ்வரும் ஒவ்வொன்றும் ஈருறுப்பு உறவாகும்:
- எதிர்வு அடைப்பு - R =
- R = = { (x, x) | x ∈ X } ∪ R
- இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய எதிர்வு உறவு.
- எதிர்வு ஒடுக்கம் - R ≠
- R ≠ = R \ { (x, x) | x ∈ X }
- இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகப் பெரிய எதிர்வற்ற உறவு.
- கடப்பு அடைப்பு - R +
- கடப்பு அடைப்பு உறவானது, X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட மிகச் சிறிய கடப்பு உறவு. இது X மீது R ஐ உள்ளடக்கியவாறு வரையறுக்கப்பட்ட கடப்பு உறவுகளின் வெட்டாக இது அமையும்.
நிரப்பி
தொகுX , Y மீதான ஈருறுப்பு உறவு R எனில்:
- R இன் நிரப்பி உறவு S ம் ஒரு ஈருறுப்பு உறவு.
- x S y என்பது உண்மையானால் x R y உண்மையாக இருக்காது.
- எடுத்துக்காட்டு:
- மெய்யெண்களில், > இன் நிரப்பி ≤.
- ஒரு ஈருறுப்பு உறவின் நேர்மாறின் நிரப்பி, அந்த ஈருறுப்பு உறவின் நிரப்பியின் நேர்மாறாக இருக்கும்.
X = Y எனில் நிரப்பி உறவு பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:
- சமச்சீர் உறவின் நிரப்பியும் சமச்சீரானது.
- எதிர்வு உறவின் நிரப்பி எதிர்வற்றதாகவும், எதிர்வற்ற உறவின் நிரப்பி எதிர்வு உறவாகவும் இருக்கும்.
- நேர்மாறின் நிரப்பியும் இதே பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்.
ஒடுக்கம்
தொகுX கணத்தின் மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு ஈருறுப்பு உறவு R இன் ஒடுக்கம் என்பது X ஐ ஆட்களமாகக் கொள்வதற்குப் பதில் அதன் ஏதேனுமொரு உட்கணத்தை (S) ஆட்களமாகக் எடுத்துக்கொண்டால், அந்த உறவு R இன் ஒடுக்கம் எனப்படுகிறது.
எதிர்வு, எதிர்வற்ற, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, சமானம் ஆகிய ஈருறுப்புறவுகளின் ஒடுக்கங்களும் அதே தன்மையைக் கொண்டிருக்கும்.
குறிப்புகள்
தொகு- ↑ Encyclopedic dictionary of Mathematics. MIT. 2000. pp. 1330–1331. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-262-59020-4.
- ↑ Suppes, Patrick (1972) [originally published by D. van Nostrand Company in 1960]. Axiomatic Set Theory. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-61630-4.
- ↑ Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010) [revised and corrected republication of the work originally published in 1996 by Oxford University Press, New York]. Set Theory and the Continuum Problem. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-486-47484-7.
- ↑ Levy, Azriel (2002) [republication of the work published by Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg and New York in 1979]. Basic Set Theory. Dover. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-42079-5.
- ↑ Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2006), A Transition to Advanced Mathematics (6th ed.), Brooks/Cole, p. 160, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-534-39900-2
- ↑ Nievergelt, Yves (2002), Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag, p. 158.
- ↑ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (2007). Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics – Physics Charles University. p. 1. Archived from the original (PDF) on 2013-11-02. பார்க்கப்பட்ட நாள் 2015-10-11. Lemma 1.1 (iv). This source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".
மேற்சான்றுகள்
தொகு- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 3-11-015248-7.
- Gunther Schmidt, 2010. Relational Mathematics. Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-76268-7.
வெளியிணைப்புகள்
தொகு- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-1556080104