கணித அமைப்பு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கி:ISBN மாய இணைப்புகளை நீக்கல் |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]] ஆய்ந்து அலசப்படும் கருத்துப் பொருட்களெல்லாம் [[கணம்|கணங்களை]] அடிப்படையாகக்கொண்டன. இப்பொருட்கள் உண்டாகும் முறைகளை இருபதாவது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் கணிதவியலர்கள் '''அமைப்பு''' என்ற புதிய கண்ணோட்டம் தரும் தலைப்புகளில் வகைப்படுத்தினர். இந்த வகைப்படுத்தலால் கணிதவியலில் புரட்சிகரமான பாதை தோன்றி பற்பல முக்கிய விளைவுகள் தோன்றின. அவற்றுள் முதலாவது, காலம் காலமாக பல மேதைகளின் கண்டுபிடிப்புகளினால் தொகுத்து வைத்திருந்த கணிதமெல்லாம் ஒன்று சேர்ந்து இணையக்கூடிய வாய்ப்பு உருவானதோடு மட்டுமல்லாமல் சென்ற நூற்றாண்டில் கணிதத்தை வியப்பூட்டும் அளவுக்கு விரிவடையவும் செய்தது.
:{| style="border:1px solid #ddd; text-align:center; margin: auto;" cellspacing="15"
வரிசை 9:
== ‘அமைப்பு’ என்றால் என்ன? ==
இதை எடுத்துக் காட்டுகள் மூலம் தான் விவரிக்க வேண்டி யிருக்கிறது.
எல்லா மெய்யெண்களின் கணம் '''''R''''' என்று கொள்க. அவ்வெண்களில் தன்னியல்பாக உள்ள கூட்டல் செயல் ‘+’ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப் படுவதாகக் கொள்வோம் . இப்பொழுது, ''x, y, z'' என்பவை '''''R''''' இல் உள்ள எந்த உறுப்புகளானாலும்,
''x + y'' எப்பொழுதும் '''''R''''' இலேயே இருக்கும் ... (a)
''(x + y) + z = x + (y + z)'' ... (b)
வரிசை 46:
''x'' . ''x''<sup>-''1''</sup> = ''1'' = ''x''<sup>-''1''</sup> . ''x'' ... (E)
இவைகளும் மிக எளிதான அற்பமான கூற்றுகளாகத் தோன்றலாம். ஆனால் (a) இலிருந்து (e) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுகளையும் (A) இலிருந்து (E) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுக்களோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் முதல் ஐந்தும் பின் ஐந்தும் ஒரே ‘அமைப்பில்’ இருப்பதை அறியலாம். இருந்தாலும் ஒரு விதிவிலக்கு உள்ளது. முதலைந்திலிருந்து இரண்டாவது ஐந்து ஒரு விதத்தில் மாறுபடுகிறது. முந்தையதிலுள்ள,
'''''R''''', ‘+’, ‘''0''’ , ‘-''x''’
ஆகிய நான்கின் இடத்தில், பிந்தையதில் முறையே
'''''R'''''<sup>'''+'''</sup>, ‘.’ , ‘''1''’, ‘''x''<sup>-''1''</sup>’
ஆகியவைகள் வைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. இந்த மாற்றத்தைத்தவிர, இரண்டு ‘அமைப்புகளும்’ ஒரே மாதிரி தான். இதைத்தான் கணிதத்தில் ‘'''அமைப்பு'''’ (Structure) என்ற கலைச் சொல்லால் குறிப்பிடுகிறார்கள். முதல் வகையில் நாம் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘ '''''R''''' க்கு கொடுக்கப்பட்ட கூட்டல் அமைப்பு’ என்றும் இரண்டாவது வகையில் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘'''''R'''''<sup>'''+'''</sup>க்குக் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கல் அமைப்பு’ என்றும் சொல்லல் தகும்.
== ஓருரு அமைவு (Isomorphism) ==
வரிசை 80:
'''''G''''' இல் உள்ள ஒவ்வொரு ''x'' க்கும், ஒரு [[நேர்மாறு உறுப்பு|நேர்மாறான உறுப்பு]] உளது;
அ-து, ஒவ்வொரு ''x'' க்கும் ஒரு ''x''<sup>-''1''</sup> கீழேயுள்ள இயல்புடன் உளது:
''x'' * ''x''<sup>-''1''</sup> = ''e'' = ''x''<sup>-''1''</sup> * ''x'' … (G5)
வரிசை 86:
'''ஏதாவது '''''G''''' என்ற ஒரு கணம் ஒரு ‘*’ என்ற செயல் முறையுடன் (G1) இலிருந்து (G5) வரையுள்ள ஐந்து விதிகளுக்கும் உட்படுமானால் அந்த G க்கு ‘குலம்’ (Group) என்று பெயர்.'''
'''''R''''', ‘+’ என்ற கூட்டல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது.
'''''R'''''<sup>'''+'''</sup>, ‘.’ என்ற பெருக்கல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது.
இவ்விரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளும் ‘[[முடிவில்லாத குலங்கள்]]’ ஆகும். ஏனென்றால் அவைகள் சார்ந்திருக்கும் அடிப்படை கணங்களான '''''R''''' ம், '''''R'''''<sup>'''+'''</sup>, ம் முடிவில்லாத கணங்கள்.
[[முடிவுள்ள குலங்கள்]] மிகப்பல இருக்கின்றன.
(G3) மாத்திரம் இல்லாமல், மற்ற நான்கு விதிகளுக்கும் உட்பட்டு இருக்கும் ஒரு '''''G''''' என்ற கணம் (அதன் ‘*’ என்ற செயலுடன்) ஒரு '[[பரிமாறாக்குலம்]] ' (Non-commutative Group) என்று சொல்லப் படும். இதிலிருந்து பிரித்துப்பேசுவதற்காக நாம் மேலே சொன்ன குலத்தை ‘[[பரிமாற்றுக் குலம்]]’ (Commutative Group) என்றும் சொல்வதுண்டு. ‘[[ஏபெல் குலம்|ஏபீலியன் குலம்]]’ (Abelian Group) அதற்கு இன்னொரு பெயர். ‘[[ஏபெல்]]’ (1802 - 1829) என்ற கணித வல்லுனர் முதன்முதல் இதை அறிமுகப்படுத்தினார்.
வரிசை 112:
ஆக,
''x’ = e * x’ = (x’’ * x ) * x’ = x’’ * (x * x’) = x’’ * e = x’’.''
இதனால் நமக்குத்தெரிவது, குலம் '''''G''''' இல் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் உள்ள மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மையுடையது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாற்றுறுப்பு இருக்கவேண்டும் என்பது ‘குலம்’ என்பதன் வரையறை. அம்மாற்றுறுப்பு ஒன்றுக்குமேல் இருக்கமுடியாது என்பது குலத்தின் ஐந்து விதிகளிலிருந்து உருவாகும் ஒரு கிளைத்தேற்றம். இன்னும் பற்பல தேற்றங்கள் உருவாகலாம். இந்த வழியில் ‘குலம்’ என்பதை பண்பியல் தளத்தில் ஆராய்ச்சி செய்ததால் கிடைத்த முடிவுகள் எல்லாம் சேர்ந்து தான் '''[[குலக் கோட்பாடு]]''' (Group Theory) என்று கணிதத்தின் ஒரு பெரிய கிளைத்துறையாக இன்று நடமாடுகிறது.
வரிசை 154:
* E.T. Bell. (1945) Development of Mathematics. 2nd edn. McGrawHill, New York.
* V. Krishnamurthy. (1990). Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. Wiley Eastern Ltd. New Delhi. {{ISBN|81-224-0272-0}}
* Edna Kramer. (1983) Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. {{ISBN|0691023727}}
| |||