நேர்மாறு உறுப்பு: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கிஇணைப்பு category நுண்புல இயற்கணிதம் |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 3:
==முறையான வரையறைகள்==
===யூனிட்டல் மேக்மாவில்===
'''<math>*</math>''' எனும் [[ஈருறுப்புச் செயலி]]யைக் கொண்ட [[கணம் (கணிதம்)|கணம்]] '''<math>S</math>''' என்க. (அ-து) '''<math>S</math>''' ஒரு [[குலமன் (இயற்கணிதம்)|மேக்மா]].
'''<math>(S,*)</math>''' ன் [[முற்றொருமை உறுப்பு]] '''<math>e</math>''' என்க. (S ஒரு [[யூனிட்டல் மேக்மா]] (unital magma))
'''<math>a*b=e</math>''' எனில்
<math>a</math> ஆனது <math>b</math> '''இடது நேர்மாறு''' என்றும்
<math>b</math> ஆனது <math>a</math> ன் '''வலது நேர்மாறு''' என்றும் அழைக்கப்படும்.
<math>x</math> , <math>y</math>க்கு இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு இரண்டுமாக இருந்தால் அது <math>y</math> ன் '''இருபக்க நேர்மாறு''' அல்லது சுருக்கமாக '''நேர்மாறு''' எனப்படும்.
கணம் <math>S</math> ல் இருபக்க நேர்மாறுடைய ஒவ்வொரு உறுப்பும் <math>S</math> ல் '''நேர்மாற்றக்கூடியது''' (invertible) எனப்படும்.
இடது நேர்மாறு மட்டும் கொண்ட உறுப்பு இடது நேர்மாற்றக்கூடியது எனவும் வலது நேர்மாறு மட்டும் கொண்ட உறுப்பு வலது நேர்மாற்றக்கூடியது எனவும் அழைக்கப்படும்.
S லுள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் நேர்மாற்றக்கூடியதெனில் S ஒரு [[கண்ணி]] (loop) எனப்படும்.
யூனிட்டல் மேக்மா, '''<math>(S,*)</math>''' க்குப் பல இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு உள்ளது போல எந்தவொரு உறுப்புக்கும் பல இடது மற்றும் வலது நேர்மாறு உறுப்புகள் இருக்கும். இந்த இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகளின் வரையறைகளில் பயன்படுத்தப்படும் முற்றொருமை உறுப்பு இருபக்க நேர்மாறு கொண்டதாகும்.
'''<math>*</math>''', ஒரு [[சேர்ப்புப் பண்பு|சேர்ப்பு]] ஈருறுப்புச் செயலியாக இருக்கும்போது ஒரு உறுப்பின் இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுகள் சமமாக இருக்கும். எனவே [[ஒற்றைக்குலம்|ஒற்றைக்குலத்தின்]] அனைத்து உறுப்புகளுக்கும் அதிகபட்சமாக ஒரு நேர்மாறு உறுப்பு இருக்கும். ஒற்றைக்குலத்தில் உள்ள இருபக்க நேர்மாற்றக் கூடிய உறுப்புகளின் கணம் ஒரு குலமாகும். இக்குலம், <math>S</math> ன் [[அலகுகளின் குலம்]] (group of units) எனப்படும். இக்குலத்தின் குறியீடு, '''<math>U(S)</math>''' அல்லது '''''H''<sub>1</sub>''' ஆகும்.
வரிசை 27:
=== அரைக்குலத்தில் ===
முந்தைய பிரிவில் நேர்மாறு உறுப்புக்கு, முற்றொருமை உறுப்புடன் தொடர்புபடுத்தப்பட்ட வரையறை தரப்பட்டுள்ளது. முற்றொருமை உறுப்பு இல்லாமல் சேர்ப்புப் பண்பினைப் பயன்படுத்தியும் நேர்மாறை வரையறுக்கலாம். அதாவது அரைக்குலத்திலும் வரையறுக்கலாம்.
ஒரு [[அரைக்குலம்]] <math>S</math> ல் ''x'' என்ற உறுப்புக்கு, '''''xzx'' = ''x'''''; என்றவாறு ''z'' என்ற உறுப்பு <math>S</math> ல் இருந்தால் ''x'' ஒழுங்கான உறுப்பு (regular element) எனப்படும். ''z'' சில சமயங்களில் [[போலி நேர்மாறு]] என அழைக்கப்படுகிறது.
'''''xyx'' = ''x''''' , '''''y'' = ''yxy''''' எனில் ''y'' , ''x'' ன் நேர்மாறு என அழைக்கப்படும். ஒவ்வொரு ஒழுங்கான உறுப்புக்கும் குறைந்தபட்சம் ஒரு நேர்மாறு உண்டு.
'''''x'' = ''xzx''''' எனில், '''''y'' = ''zxz''''' என்றமையும் உறுப்பு இப்பிரிவில் தரப்பட்டுள்ள வரையறைப்படி ''x'' ன் நேர்மாறு ஆகும்.
எளிதாக நிறுவக்கூடிய மற்றுமொரு கூற்று:
''y'' , ''x'' ன் நேர்மாறு எனில் '''''e'' = ''xy''''' மற்றும் '''''f'' = ''yx''''' என்றவாறு அமையும் ''e'' , ''f'' உறுப்புகள் இரண்டும் [[தன்னடுக்கு (கணிதம்)|தன்னடுக்கு]]களாகும்.
(அ-து) '''''ee'' = ''e''''' , '''''ff'' = ''f''''' ஆகும்.
ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறாக அமையும் ஒவ்வொரு சோடி உறுப்புகளாலும் இரண்டு தன்னடுக்குகள் கிடைக்கின்றன.
மேலும் '''''ex'' = ''xf'' = ''x''''', '''''ye'' = ''fy'' = ''y''''' ஆகும்.
''e'' , ''x'' ன் இடது முற்றொருமையாகவும் ''f'' வலது முற்றொருமையாகவும் இருக்கின்றன. ''y'' க்கு ''f'' இடது முற்றொருமையாகவும் ''e'' வலது முற்றொருமையாகவும் அமைகின்றன. இக்கருத்தை கிரீன் தொடர்புகளைப் (Green's relations )பயன்படுத்திப் பொதுமைப்படுத்தலாம்.
வரிசை 52:
===மெய்யெண்கள்===
*ஒவ்வொரு [[எண்#மெய்யெண்கள்|மெய்யெண்]] '''<math>x</math>''' க்கும் கூட்டல் நேர்மாறு உண்டு.
(அ-து) கூட்டலைப் பொறுத்து '''<math>x</math>''' ன் நேர்மாறு '''<math>-x</math>'''.
*ஒவ்வொரு பூச்சியமில்லா மெய்யெண் '''<math>x</math>''' க்கும் ஒரு பெருக்கல் நேர்மாறு உண்டு.
(அ-து) பெருக்கலைப் பொறுத்து '''<math>x</math>''' ன் நேர்மாறு '''<math>\frac 1{x}</math>''' (அல்லது '''<math>x^{-1}</math>''').
வரிசை 62:
=== சார்புகளும் பகுதிச்சார்புகளும் ===
[[சார்பு]] '''<math>f</math>''' ன் [[ஆட்களம் (கணிதம்)|ஆட்களத்தில்]] '''<math>g \circ f</math>''' என்பது முற்றொருமை உறுப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சார்பு '''<math>g</math>''' ஆனது [[சார்புகளின் தொகுப்பு]]ச் செயலைப் பொறுத்து '''<math>f</math>''' ன் [[நேர்மாறுச் சார்பு#இடது மற்றும் வலது நேர்மாறுச் சார்புகள்|இடது நேர்மாறுச் சார்பாகும்]].
அதேபோல் '''<math>g</math>'''ன் ஆட்களத்தில் ('''<math>f</math>''' ன் [[இணையாட்களம் (கணிதம்)|இணையாட்களம்]]) '''<math>f \circ g</math>''' என்பது முற்றொருமை உறுப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே சார்பு '''<math>f</math>''' ஆனது [[சார்புகளின் தொகுப்பு]]ச் செயலைப் பொறுத்து '''<math>g</math>''' ன் வலது நேர்மாறுச் சார்பாகும்.
'''<math>f</math>''' ன் நேர்மாறு பெரும்பாலும் '''<math>f^{-1}</math>''' எனக் குறிக்கப்படுகிறது.
[[இருவழிக்கோப்பு|இருவழிச் சார்புகளுக்கு]] மட்டும்தான் இருபக்க நேர்மாறு உண்டு என்றாலும் எந்தவொரு சார்புக்கும் பகுதி நேர்மாறு உண்டு.
=== அணிகள் ===
[[களம் (கணிதம்)|களம்]] '''<math>K</math>''' ல் உள்ள உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி '''<math>M</math>''' ன் [[அணிக்கோவை]]யின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாதிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே [[அணி (கணிதம்)|அணி]] '''<math>M</math>''' ஆனது ஒரேவரிசையுடைய [[அணி (கணிதம்)#சதுர அணி|சதுர அணிகளின்]] கணத்தில், [[அணி (கணிதம்)#அணிப் பெருக்கல்|அணிகளின் பெருக்கல்]] செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத் தக்கதாகும்.
பொதுவாக, [[பரிமாற்று வளையம்]] '''<math>R</math>''' மீதான ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை '''<math>R</math>''' ல் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சதுர அணியும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க முடியும்.
[[முழுத்தரம்]] (full rank) கொண்ட சதுரமில்லா அணிகள் ஒருபக்க நேர்மாறு கொண்டவை.<ref>[http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture33.htm MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse.]</ref>
| |||