கூட்டுத் தொடர்வரிசை: திருத்தங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு
உள்ளடக்கம் நீக்கப்பட்டது உள்ளடக்கம் சேர்க்கப்பட்டது
சி தானியங்கி:ISBN மாய இணைப்புகளை நீக்கல் |
சி பராமரிப்பு using AWB |
||
வரிசை 1:
[[கணிதம்|கணிதத்தில்]], '''கூட்டுத் தொடர்''' அல்லது '''எண்கணிதத் தொடர்''' என்பது அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரு எண்களுக்கு இடையே ''ஓரே ஓர் எண்'' வேறுபாடாக இருக்குமாறு அமைந்த, வரிசையாக வரும் எண்கள். எடுத்துக்காட்டாக 3, 5, 7, 9, 11, 13, … என்பது ஒரு கூட்டுத்தொடர், ஏனெனில் அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரண்டு எண்களுக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு இங்கே 2. அதாவது, இத்தொடரை 3, 3+2, (3+2)+2,... என்று எழுதலாம்; அடுத்தடுத்து, ஒரு வரிசையில் வரும் எண்களை அறிய, ஓர் உறுப்பின் முன்னுள்ள எண்ணுடன் 2 ஐச் சேர்த்தால் கிட்டும். ஒரு கூட்டுத் தொடரில் அடுத்தடுத்து வரும் ''எந்த'' இரண்டு எண்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடு ''பொது வேறுபாடு'' எனப்படும்.
கூட்டுத்தொடரில் வரும் முதல் எண் <math>a_1</math> என்றும், பொது வேறுபாடு ''d'' என்றும் கொண்டால், வரிசையில் ''n''-ஆவது உறுப்பு என்ன என்பதைக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
வரிசை 23:
:<math> S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.</math>
மேலே உள்ளதில், முதல் தொடரானது <math>a_1</math> ஓடு d, 2d, 3d என்று படிப்படியாகக் ''கூட்டிக்கொண்டே'' போவது, ஆனால் இரண்டாவது தொடரானது, கடைசி உறுப்பாகிய <math>a_n</math> இல் இருந்து (n-1)d, (n-2)d என்று படிப்படியாக ''கழித்துக்கொண்டே'' செல்வது. இப்படியாக மேலே உள்ளவாறு இருவேறு விதமாக எழுதப்பட்ட இரண்டு கூட்டுத்தொடர்களின் கூட்டுத்தொகைகளைக் கூட்டினால், பொதுவேறுபாடான ''d'' ஒன்றோடு ஒன்று ''கழிபட்டுப்'' போகின்றது:
:<math>\ 2S_n=n(a_1+a_n).</math>
சமன்பாட்டின் இருபுறத்தையும் இரண்டால் வகுத்தால், கூட்டுத்தொகையை அடையலாம்:
:<math> S_n=\frac{n}{2}( a_1 + a_n).</math>
வரிசை 44:
== கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை ==
ஒரு வரம்புள கூட்டுத்தொடரின் உறுப்புகளைப் பெருக்கினால் வரும் பெருக்குத்தொகையைக் கணிக்கலாம். முதல் உறுப்பு அல்லது உருப்படி ''a''<sub>1</sub> என்றும், பொதுவேறுபாடு ''d'' என்றும், மொத்த உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ''n'' என்றும் கொண்டால், அந்த n உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகை முடிவுறும் வாய்பாடாகக் கீழ்க்காணுமாறு எழுதலாம்:
:<math>a_1a_2\cdots a_n = d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}} = d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) },</math>
வரிசை 56:
:<math>\frac{n!}{(m-1)!}.</math>
மேலே கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டைக் கொண்டால், n ஆவது உறுப்பை ''a''<sub>''n''</sub> = 3 + (''n''-1)(5) எனக்கொண்டால் 50 ஆவது உறுப்புவரை பெருக்கினால்
:<math>P_{50} = 5^{50} \cdot \frac{\Gamma \left(3/5 + 50\right) }{\Gamma \left( 3 / 5 \right) } \approx 3.78438 \times 10^{98} </math>
| |||