திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள்

யூக்ளிடின் முப்பரிமாண வெளியில் அமையும் திசையன்களுக்கு கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள திசையன் இயற்கணிதத் தொடர்புகள் (vector algebra relations) பொருந்தும். இத்தொடர்புகளில் சில, மூன்றுக்கும் மேற்பட்டப் பரிமாணங்களில் அமையும் திசையன்களுக்கும் பொருந்திவரும். ஆனால் அனைத்துத் தொடர்புகளுக்கும் இது பொருந்தாது. எடுத்துக்காட்டாக, இரு திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கல் எல்லா உயர்ப் பரிமாணங்களுக்கும் பொருந்தாது.

அளவுகள்

ஒரு திசையன் A -ன் அளவு (magnitude) பித்தாகரசு தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான மூன்று திசைகளில் அமையும் அதன் கூறுகளினால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}\$

ஒரு திசையனின் அளவு, புள்ளிப் பெருக்கல் வாயிலாகவும் தரப்படுகிறது:

$\|\mathbf {A} \|^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )\$

சமனின்மைகள்

• ${\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\leq 1\$ -முப்பரிமாண கோஷி-ஷ்வார்ஸ் சமனின்மை.

  $\|\mathbf {A+B} \|\leq \|\mathbf {A} \|+\|\mathbf {B} \|$ -முப்பரிமாண முக்கோண சமனின்மை

  $\|\mathbf {A-B} \|\geq \|\mathbf {A} \|-\|\mathbf {B} \|$ -முப்பரிமாண நேர்மாறு முக்கோண சமனின்மை.

இங்கு (A · B) என்பது A மற்றும் B திசையன்களின் புள்ளிப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

கோணங்கள்

இரு திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம் θ, அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கலால் வரையறுக்கப்படுகிறது:

$\sin \theta ={\frac {\mathbf {A\times B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )$

வலது-கை விதிப்படி, θ -ன் நேர்ம மதிப்பிற்கு, B ஆனது A -லிருந்து கடிகாரத்திசைக்கு எதிராகவும், எதிர்ம மதிப்பிற்கு கடிகாரதிசையிலும் அமையும்.

$\cos \theta ={\frac {\mathbf {A\cdot B} }{\|\mathbf {A} \|\|\mathbf {B} \|}}\ \ (-\pi <\theta \leq \pi )$

இங்கு A × B என்பது A மற்றும் B திசையன்களின் குறுக்குப் பெருக்கலைக் குறிக்கும்.

பித்தாகரசின் முற்றொருமையைப் பயன்படுத்த:

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1\!$

$\|\mathbf {A\times B} \|^{2}+(\mathbf {A\cdot B} )^{2}=\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}$

திசையன் A = (A_x, A_y, A_z) ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தாக அமையும் மூன்று ஆயஅச்சுகள் x-, y- மற்றும் z -க்களுடன் உண்டாக்கும் கோணங்கள் முறையே α, β, γ எனில்:

$\cos \alpha ={\frac {A_{x}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{x}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

$\cos \beta ={\frac {A_{y}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{y}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

$\cos \gamma ={\frac {A_{z}}{\sqrt {A_{x}^{2}+A_{y}^{2}+A_{z}^{2}}}}={\frac {A_{z}}{\|\mathbf {A} \|}}\ ,$

இதிலிருந்து:

$\mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|\left(\cos \alpha \ {\hat {\mathbf {i} }}+\cos \beta \ {\hat {\mathbf {j} }}+\cos \gamma \ {\hat {\mathbf {k} }}\right)\ ,$

இங்கு ${\hat {\mathbf {i} }},\ {\hat {\mathbf {j} }},\ {\hat {\mathbf {k} }}$ மூன்றும் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட மூன்று ஆயஅச்சுகளின் திசையில் அமைந்த அலகுத்திசையன்களாகும்.

பரப்பும் கனஅளவும்

A மற்றும் B திசையன்களை அடுத்துள்ள பக்கங்களாகக் கொண்ட ஒரு இணைகரத்தின் பரப்பு Σ :

$\Sigma =AB\ \sin \theta \ ,$

இங்கு θ - A மற்றும் B திசையன்களுக்கு இடையேயுள்ள கோணம்.

$\Sigma =\|\mathbf {A\times B} \|={\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{2}\|\mathbf {B} \|^{2}-(\mathbf {A\cdot B} )^{2}}}\ .$

இதன் வர்க்க மதிப்பு:

$\Sigma ^{2}=(\mathbf {A\cdot A} )(\mathbf {B\cdot B} )-(\mathbf {A\cdot B} )(\mathbf {B\cdot A} )\ ,$

இதேபோல A, B மற்றும் C -திசையன்களால் அமையும் ஒரு இணைகரத்திண்மத்தின் கனஅளவின் வர்க்கம்:

$V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {A\cdot A} &\mathbf {A\cdot B} &\mathbf {A\cdot C} \\\mathbf {B\cdot A} &\mathbf {B\cdot B} &\mathbf {B\cdot C} \\\mathbf {C\cdot A} &\mathbf {C\cdot B} &\mathbf {C\cdot C} \end{vmatrix}}\ .$

இதனை n-பரிமாணங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம்.

திசையன்களின் கூட்டலும் பெருக்கலும்

பின்வரும் தொடர்புகளில் சில புள்ளிப் பெருக்கல் மற்றும் குறுக்குப் பெருக்கல் சம்பந்தப்பட்டது.

• $c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B}$ -திசையன்களின் கூட்டல் மீதான, திசையிலிப் பெருக்கலின் பங்கீட்டுப் பண்பு.,

  $\mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A}$ -திசையன் கூட்டலின் பரிமாற்றுப் பண்பு.

  $\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )=(\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C}$ -திசையன் கூட்டலின் சேர்ப்புப் பண்பு.

  $\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A}$ -புள்ளிப் பெருக்கலின் பரிமாற்றுத்தன்மை.

  $\mathbf {A} \times \mathbf {B} =\mathbf {-B} \times \mathbf {A}$ -குறுக்குப் பெருக்கலின் பரிமாறாத்தன்மை.

  $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\cdot \mathbf {C} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {C}$ -புள்ளிப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.

  $\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)\times \mathbf {C} =\mathbf {A} \times \mathbf {C} +\mathbf {B} \times \mathbf {C}$ -குறுக்குப் பெருக்கலைப் பொறுத்து திசையன் கூட்டலின் பங்கீட்டுப்பண்பு.

  $\mathbf {A} \cdot \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\mathbf {B} \cdot \left(\mathbf {C} \times \mathbf {A} \right)=\mathbf {C} \cdot \left(\mathbf {A} \times \mathbf {B} \right)$

$=\left|{\begin{array}{ccc}A_{x}&B_{x}&C_{x}\\A_{y}&B_{y}&C_{y}\\A_{z}&B_{z}&C_{z}\end{array}}\right|=[\mathbf {A,\ B,\ C} ]$ -திசையிலி முப்பெருக்கம்

• $\mathbf {A\times } \left(\mathbf {B} \times \mathbf {C} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\mathbf {B} -\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {C}$ -திசையன் முப்பெருக்கம்

  $\mathbf {\left(A\times B\right)\cdot } \left(\mathbf {C} \times \mathbf {D} \right)=\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {D} \right)-\left(\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} \right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {D} \right)$ -முப்பரிமாண பினேட்–கோஷி முற்றொருமை

• மேலுள்ள முற்றொருமையில் A = C and B = D எனில்:

$\mathbf {(A\times B)^{2}=(A\cdot A)(B\cdot B)-(A\cdot B)^{2}}$ -முப்பரிமாணத்தில் லெக்ராஞ்சியின் முற்றொருமை

• திசையன் நாற்பெருக்கம்:

$(\mathbf {A} \times \mathbf {B} )\times (\mathbf {C} \times \mathbf {D} )=[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ]\mathbf {C} -[\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {C} ]\mathbf {D} =[\mathbf {A} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} ]\mathbf {B} -[\mathbf {B} ,\mathbf {C} ,\mathbf {D} ]\mathbf {A}$

இங்கு [A, B, C] என்பது திசையிலி முப்பெருக்கம் A · (B × C) -ஐக் குறிக்கும்.

• A, B, C என்பன ஒரே கோட்டில் அமையாத தரப்பட்ட மூன்று திசையன்கள் எனில், ஏதேனும் ஒரு திசையன் D பின்வருமாறு தரப்படும்:

$\mathbf {D} ={\frac {\mathbf {D\cdot (B\times C)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {A} +{\frac {\mathbf {D\cdot (C\times A)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {B} +{\frac {\mathbf {D\cdot (A\times B)} }{[\mathbf {A,\ B,\ C} ]}}\ \mathbf {C} \ .$