பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள்

கணிதத்தின் எண்கோட்பாட்டில், பெர்ட்ரான்டின் எடுகோள் (Bertrand's postulate) என்பது கீழ்வரும் தேற்றத்தைக் குறிக்கும்:

ஒவ்வொரு முழு எண் $n>3$ க்கும்,

n<p<2n-2.

என்றவாறு குறைந்தபட்சமாக ஒரு பகா எண்

p

இருக்கும்.

இதைவிடக் குறைந்த கட்டுப்பாடுடைய வடிவம்:

ஒவ்வொரு முழுஎண் $n>1$ க்கும்,

n<p<2n.

என்றவாறு குறைந்தபட்சமாக ஒரு பகா எண்

p

இருக்கும்.

மற்றொரு வடிவம்:

$n\geq 1$ ஆக இருக்கும்பொழுது, $p_{n}$ ஆனது $n$ ஆவது பகா எண் எனில்:

p_{n+1}<2p_{n}.

ஆக இருக்கும்.^[1]

இக்கூற்றானது முதலில் 1845 இல் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஜோசப் பெர்ட்ரான்டால் அனுமானமாகத் தெரிவிக்கப்பட்டது.^[2] (1822–1900). பெர்ட்ரான்டால், $2\leq n\leq 3\,000\,000$ என அமையும் அனைத்து முழுஎண்களுக்கும் இக்கூற்று பொருந்துவது சரிபார்க்கப்பட்டது.

இவரது இந்த அனுமானம் 1852 இல் உருசியக் கணிதவியலாளர் கெபிஸ்ஹேவால் (1821–1894) முழுமையாக நிறுவப்பட்டது.^[3] இதனால் இந்த எடுகோள், பெர்ட்ரான்டு-கெபிஸ்ஹேவ் தேற்றம் அல்லது கெபிஸ்ஹேவின் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது. கெபிஸ்ஹேவின் தேற்றத்தை $\pi (x)$ , பகாத்தனி-எண்ணும் சார்புடனான ( $x$ ஐ விடச் சிறிய அல்லது சமமான பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை) தொடர்பு என்றும் அழைக்கலாம்:

\pi (x)-\pi {\bigl (}{\tfrac {x}{2}}{\bigr )}\geq 1,{\text{ for all }}x\geq 2.

விளைவுகள்

1 உடன் கூடிய பகாஎண்களின் தொடர்வரிசையானது, ஒரு "முழுமையான தொடர்வரிசை"யாக இருக்கும். ஏனெனில் ஒவ்வொரு பகாஎண்ணையும் (1 உட்பட) அதிகபட்சமாக ஒரு முறை மட்டுமே பயன்படுத்தி, எந்தவொரு நேர்ம முழுஎண்ணையும் பகாஎண்களின் கூட்டுதொகையாக எழுதமுடியும்.
1 மட்டுமே, முழு எண்ணாகவுள்ள ஒரேயொரு இசை எண்.^[4]

குறிப்புகள்

↑ Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes. New York: Springer-Verlag. p. 181. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-20169-6.
↑ Bertrand, Joseph (1845), "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.", Journal de l'École Royale Polytechnique (in பிரெஞ்சு), 18 (Cahier 30): 123–140
↑ Tchebychev, P. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers." (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, Série 1 (in பிரெஞ்சு): 366–390. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Tchebychev, P. (1854), "Mémoire sur les nombres premiers.", Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (in பிரெஞ்சு), 7: 15–33
↑ Ronald L., Graham; Donald E., Knuth; Oren, Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-201-55802-9.

நூலடைவு

P. Erdős (1934), "A Theorem of Sylvester and Schur", Journal of the London Mathematical Society, 9 (4): 282–288, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1112/jlms/s1-9.4.282
Jitsuro Nagura (1952), "On the interval containing at least one prime number", Proc. Japan Acad., 28 (4): 177–181, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.3792/pja/1195570997
Chris Caldwell, Bertrand's postulate at பிரைம் பெயிஜசு glossary.
H. Ricardo (2005), "Goldbach's Conjecture Implies Bertrand's Postulate", Amer. Math. Monthly, 112: 492
Hugh L. Montgomery; Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. Vol. 97. Cambridge: Cambridge Univ. Press. p. 49. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-521-84903-6.
J. Sondow (2009), "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", Amer. Math. Monthly, 116 (7): 630–635, arXiv:0907.5232, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.4169/193009709x458609

வெளி இணைப்புகள்

Sondow, Jonathan, "Bertrand's Postulate", MathWorld.
A proof of the weak version in the Mizar system: http://mizar.org/version/current/html/nat_4.html#T56
Bertrand's postulate − A proof of the weak version at www.dimostriamogoldbach.it/en/

[1] Ribenboim, Paulo (2004). The Little Book of Bigger Primes. New York: Springer-Verlag. p. 181. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-20169-6.

[2] Bertrand, Joseph (1845), "Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu'elle renferme.", Journal de l'École Royale Polytechnique (in பிரெஞ்சு), 18 (Cahier 30): 123–140

[3] Tchebychev, P. (1852), "Mémoire sur les nombres premiers." (PDF), Journal de mathématiques pures et appliquées, Série 1 (in பிரெஞ்சு): 366–390. (Proof of the postulate: 371-382). Also see Tchebychev, P. (1854), "Mémoire sur les nombres premiers.", Mémoires de l'Académie Impériale des Sciences de St. Pétersbourg (in பிரெஞ்சு), 7: 15–33

[ConcreteMath-4] Ronald L., Graham; Donald E., Knuth; Oren, Patashnik (1994). Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-201-55802-9.

[1]

[2]

[3]

[4]