இசை எண்

கணிதத்தில், n-ஆவது இசை எண் (harmonic number) என்பது, முதல் n இயல் எண்களின் தலைகீழிகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்: $$H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.$$

இசை எண் $H_{n}$ இன் அணுகு எல்லை $\gamma +\ln(x)$ (நீலக்கோடு, $\gamma$-ஆய்லரின் மாறிலி); $n=\lfloor x\rfloor$ (சிவப்புக்கோடு).

n = 1, இலிருந்து தொடங்கும் இசை எண்கள் தொடர்வரிசை:: $$1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots$$

n-ஆவது இசை எண்ணானது, n நேர்ம முழுஎண்களின் இசைச் சராசரியின் தலைகீழியின் n மடங்காக இருக்கும்.

பழங்காலம் முதற்கொண்டு இசை எண்கள் ஆய்வு செய்யப்பட்டு வருகின்றன; எண் கோட்பாட்டின் பல பிரிவுகளில் இசை எண்கள் முக்கியத்துவம் வாய்ந்தவையாக உள்ளன. ரீமன் இசீட்டா சார்பியத்தோடு நெருங்கிய தொடர்புள்ளவை. மேலும், பல சிறப்புச் சார்புகளின் கோவைவைகளில் இடம்பெற்றுள்ளன.

இசை எண்கள் தோராயமாக, இயல் மடக்கைச் சார்பாக உள்ளன. இதனால், இசைத் தொடரானது எல்லையின்றி மிகப்பெரியதாக, ஆனால் மெதுவாக அதிகரிக்கிறது.1737 இல் ஆய்லர், இசைத் தொடரின் விரிதன்மைப் பயன்படுத்தி, பகாஎண்கள் முடிவற்றவை என்பதற்கு ஒரு புது நிறுவலை அளித்தார். ஆய்லரின் நிறுவல் 1859 இல் ரீமானால் சிக்கலெண் தளத்திற்கும் நீட்டிக்கப்பட்டது. இதுவே பகா எண்களின் பரவல் குறித்த ரீமான் கருதுகோளுக்கு வழியமைத்தது.

$H_{1}=1$ ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல என்ற முடிவை "பெட்ரான்டின் எடுகோள்" தருகிறது

முதல் 40 இசை எண்கள்

n	இசை எண், Hn
	பின்ன வடிவில்		தசம வடிவில்	சார் அளவு
1	1		1	1
2	3	/2	1.5	1.5
3	11	/6	~1.83333	1.83333
4	25	/12	~2.08333	2.08333
5	137	/60	~2.28333	2.28333
6	49	/20	2.45	2.45
7	363	/140	~2.59286	2.59286
8	761	/280	~2.71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~2.82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~2.92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~3.01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~3.10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~3.18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~3.25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~3.31823	3.31823
16	2 436 559	/720 720	~3.38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~3.43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~3.49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~3.54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~3.59774	3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~3.64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~3.69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~3.73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~3.85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~3.89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~3.92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~3.99499	3.99499
31	290 774 257 297 357	/72 201 776 446 800	~4.02725	4.02725
32	586 061 125 622 639	/144 403 552 893 600	~4.05850	4.0585
33	53 676 090 078 349	/13 127 595 717 600	~4.08880	4.0888
34	54 062 195 834 749	/13 127 595 717 600	~4.11821	4.11821
35	54 437 269 998 109	/13 127 595 717 600	~4.14678	4.14678
36	54 801 925 434 709	/13 127 595 717 600	~4.17456	4.17456
37	2 040 798 836 801 833	/485 721 041 551 200	~4.20159	4.20159
38	2 053 580 969 474 233	/485 721 041 551 200	~4.22790	4.2279
39	2 066 035 355 155 033	/485 721 041 551 200	~4.25354	4.25354
40	2 078 178 381 193 813	/485 721 041 551 200	~4.27854	4.27854

இசை எண்களைக் கொண்டுள்ள முற்றொருமைகள்

இசை எண்களின் மீள்வரு தொடர்பு: $$H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.$$

இசை எண்களுக்கும் இசுடர்லிங் சுழல் எண்ணுக்குமுள்ள தொடர்பு $$H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].$$

இசை எண்கள் நிறைவுசெய்யும் முற்றொருமைகள்: $$\sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n$$

$$\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.$$

இவ்விரண்டும் ஒத்துள்ள தொகையீட்டு முடிவுகள்: $$\int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x;$$

$$\int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x.$$

π உடனான முற்றொருமைகள்

இசை எண்களையும் π இன் அடுக்குகளையும் கொண்ட பல முடிவுறாக் கூட்டுத்தொகைகள் உள்ளன: $${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}&={\frac {\pi ^{2}}{12}}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}&={\frac {11}{360}}\pi ^{4}\\\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}&={\frac {\pi ^{4}}{72}}\end{aligned}}$$

கணக்கீடு

H_n, க்கான ஆய்லர் தொகையீட்டு வடிவம்: 

$$H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.$$ (முற்றொருமை:${\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.$)

x = 1 − u எனப் பதிலிட: $${\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(-u)^{k-1}\right]\,du=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}(-u)^{k-1}\,du\\[6pt]&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}.\end{aligned}}$$

இசை எண்களுக்கும் இயல் மடக்கைக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்கும் வரைபடம். H_n ஐ ரீமான் கூட்டுத்தொகையாகக் கொள்ளலாம்: $\int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).$

n ஆவது இசை எண் கிட்டத்தட்ட n இன் இயல் மடக்கையளவு பெரியதாக இருக்குமென்பதால் மேலுள்ள கூட்டுத்தொகையின் மதிப்பு $$\int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,$$ என்ற தொகையீட்டுக்குச் சமமாக இருக்கு; இத்தொகையீட்டின் மதிப்பு ln n ஆகும்.

எனவே, H_n − ln n என்ற தொடர்வரிசை கீழுள்ளவாறான எல்லைக்கு ஒருபோக்காகக் குறையும்: $$\lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,$$ இதிலுள்ள γ ≈ 0.5772156649 என்பது ஆய்லரின் மாறிலி.

$${\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}$$ இதிலுள்ள B_k என்பவை பெர்னோலி எண்கள்..

பிறப்பிக்கும் சார்புகள்

இசை எண்களுக்கான பிறப்பாக்கி:

$\sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},$ (ln(z) - இயல் மடக்கை).

அடுக்கப் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{\frac {z^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z),$ (Ein(z) என்பது அடுக்கத் தொகையீடு).

அடுக்கத் தொகையீட்டைப் பின்வருமாறும் எழுதலாம்:

$\operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z$ ( Γ(0, z) என்பது முழுமையற்ற காமா சார்பு).

வகுபடும்தன்மை

$H_{1}=1$ ஐத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் ஒரு முழு எண் அல்ல.

$H_{n}$ முழுவெண் அல்ல என்பதை நிரூபிக்க, $2^{k}$ என்ற 1 முதல் $n$. வரையிலமைந்த மிகப்பெரிய இரண்டின் அடுக்கை எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும்; 1 முதல் $n$ எண்களின் மீச்சிறு பொது மடங்கு $M$ எனில், $H_{k}$ ஐ சம பகுதிகளைக் கொண்ட பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையாக எழுதலாம்:

$$H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}$$ இப்பின்னங்களின் தொகுதிகளில் $M/2^{k}$, என்ற ஒன்றுமட்டுமே ஒற்றைப்படை எண்ணாகவும் மற்றவையெல்லாம் இரட்டைப்படை எண்ணாகவும் இருக்கும். மேலும் $n>1$ எனில், $M$ என்பதே இரட்டைப்படையாக இருக்கும். எனவே இப்பின்னங்கள் அனைத்தும் ஒற்றைப்படைத் தொகுதிகளையும் இரட்டைப்படைப் பகுதிகளையும் கொண்டிருக்கும். எனவே $H_{n}$ முழுஎண்ணாக இருக்காது.

மேலும் வலுவாக, தொடர்ந்த முழுஎண்களைக்கொண்ட எந்தவொரு தொடர்வரிசையிலும், அதன் மற்றெந்த உறுப்புகளையும் விடப் பெரிய இரண்டின் அடுக்கால் வகுபடக்கூடிய தனித்ததொரு உறுப்பு இருக்கும். மேற்கண்ட விதத்திலேயே விவாதிக்க, எந்தவிரு இசையெண்களின் வித்தியாசமும் ஒரு முழுஎண்ணாக இருக்காது என்பதை அறியலாம்.

இசையெண்கள் முழுஎண்களாக இருக்காது என்ற கூற்றை நிறுவும் மற்றொரு நிறுவல், $H_{n}$ பின்னத்தின் பகுதியானது $n/2$ ஐ விடப் பெரிய பகா எண்களால் வகுபடும் என்பதையும், இப்பகா எண்களின் கணம் வெற்றுக்கணமாக இருக்காதென்பதற்கு பெர்ட்ரான்டின் எடுகோளையும் பயன்படுத்துகிறது. இந்நிறுவல் முறையானது $H_{1}=1$, $H_{2}=1.5$, $H_{6}=2.45$ ஆகியவற்றைத் தவிர வேறெந்த இசையெண்ணும் முடிவுறு தசமமாக இருக்காது என்பதை வலுவாகக் காட்டுகிறது. "ஒவ்வொரு பகாஎண்ணும் இசை எண்களின் முடிவுறு கண உறுப்புகளின் தொகுதிகளை மட்டுமே வகுக்கின்றன" என்ற கூற்று அனுமான நிலையில் உள்ளது; நிறுவப்படவில்லை.

மேற்கோள்கள்

• Arthur T. Benjamin; Gregory O. Preston; Jennifer J. Quinn (2002). "A Stirling Encounter with Harmonic Numbers". Mathematics Magazine 75 (2): 95–103. doi:10.2307/3219141. http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf. பார்த்த நாள்: 2005-08-08. 
• Donald Knuth (1997). "Section 1.2.7: Harmonic Numbers". The Art of Computer Programming. Vol. 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 75–79. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-201-89683-1.
• Ed Sandifer, How Euler Did It — Estimating the Basel problem பரணிடப்பட்டது 2005-05-13 at the வந்தவழி இயந்திரம் (2003)
• Peter Paule; Schneider, Carsten (2003). "Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities". Adv. Appl. Math. 31 (2): 359–378. doi:10.1016/s0196-8858(03)00016-2. http://www.risc.uni-linz.ac.at/publications/download/risc_200/HarmonicNumberIds.pdf. 
• Wenchang Chu (2004). "A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers". The Electronic Journal of Combinatorics 11: N15. doi:10.37236/1856. http://www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1n15.pdf. 
• Ayhan Dil; István Mező (2008). "A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers". Applied Mathematics and Computation 206 (2): 942–951. doi:10.1016/j.amc.2008.10.013. 

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Harmonic Number", MathWorld.