விகிதமுறு மூலத் தேற்றம்

இயற்கணிதத்தில் விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது p/q தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, p/q theorem)

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0,$ ($a_{i}\in \mathbb {Z}$ , $a_{0},a_{n}\neq 0$) இயற்கணிதச் சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளை விகிதமுறு மூலத் தேற்றம் அல்லது p/q தேற்றம் (rational root theorem , rational zero theorem, p/q theorem

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0$ ($a_{i}\in \mathbb {Z}$ , $a_{0},a_{n}\neq 0$ பல்லுறுப்புக்கோவை சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகளுக்கான கட்டுப்பாடுகளைத் தருகிறது. சமன்பாட்டின் தீர்வுகள் வலப்பக்கப் பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களென அழைக்கப்படுகின்றன.

தேற்றத்தின் கூற்று: மேலுள்ள சமன்பாட்டின் விகிதமுறு தீர்வுகள் x = ^p⁄_q ஒவ்வொன்றும் எளியவடிவிற்குச் சுருக்கப்பட்டிருந்தால், (அதாவது p , q இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள்) கீழ்வரும் முடிவுகள் நிறைவு செய்யப்படும்:

• மாறிலி உறுப்பு a₀ இன் முழுவெண் வகுத்தியாக p இருக்கும்.
• முதன்மைக் கெழு a_n இன் முழுவெண் வகுத்தியாக q இருக்கும்.

பயன்பாடு

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்கள் இருந்தால் அவற்றைக் காண்பதற்கு இத்தேற்றத்தப் பயன்படுத்தலாம். ஏதெனுமொரு விகிதமுறு மூலம் x = r கண்டுபிடிக்கப்பட்டு, அக்கோவையிலிருந்து வகுத்தல் மூலம் (x – r) காரணியை நீக்க, ஒரு படி குறைந்த பல்லுறுப்புக்கோவை கிடைக்கும். அதன் மூலங்கள் தரப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலங்களாக இருக்கும்.

முப்படிச் சமன்பாடு

முப்படிச் சமன்பாட்டின் பொதுவடிவம்

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ (கெழுக்கள் முழு எண்கள்)

இச்சமன்பாட்டிற்கு சிக்கலெண் தளத்தில் மூன்று தீர்வுகள் உண்டு. இதில் ஒன்று விகிதமுறு தீர்வு r என விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தைக் கொண்டு கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், (x – r) காரணியை நீக்க மீதமுள்ள சமன்பாடு இருபடிச் சமன்பாடாக இருக்கும். அதன் தீர்வுகளை இருபடி வாய்பாடு கொண்டு காணலாம்.

நிறுவல்

$P(x)\ =\ a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ ($a_{0},\ldots a_{n}\in \mathbb {Z} .$)

இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் ஒரு விகிதமுறு மூலம் p/q. அதாவது P(p/q) = 0 (p, q இரண்டும் சார்பகா முழுஎண்கள், p, q ∈ ℤ) எனில்:

$P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.$

இருபுறமும் qⁿ ஆல் பெருக்க:

$a_{n}p^{n}+a_{n-1}p^{n-1}q+\cdots +a_{1}pq^{n-1}+a_{0}q^{n}=0.$

• a₀ உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி pயை வெளியிலெடுக்க:

$p\left(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1}\right)=-a_{0}q^{n}.$

எனவே p ஆனது a₀qⁿ ஐ மீதியின்றி வகுக்கும். ஆனால் p, q இரண்டும் சார்பகா எண்கள் என்பதால் p ஆனது, qⁿ ஐ வகுக்காது. எனவே p ஆனது மீதியுள்ள காரணி a₀யை வகுக்கும்.

• இதேபோல a_n உறுப்பை வலப்பக்கத்திற்கு மாற்றி இடப்புறத்தில் காரணி qயை வெளியிலெடுக்க:

$q\left(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1}\right)=-a_{n}p^{n}.$

மேலே விளக்கியதுபோல இங்கும் q ஆனது a_nயை வகுக்கும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1:

$P(x)=2x^{3}+x-1,$

விகிதமுறு மூலத் தேற்றத்தின்படி, இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலம் இருக்குமானால் அம்மூலத்தின் தொகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 2 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை:

±1/2 , ±1

ஆனால் P(±1/2) P(±1) ஆகிய நான்கின் மதிப்புகளுமே பூச்சியமில்லை. எனவே இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு விகிதமுறு மூலங்களே கிடையாது.

எடுத்துக்காட்டு 2:

$P(x)=x^{3}-7x+6$

இப்பல்லுறுப்புக்கோவைக்கு இருக்கக்கூடிய விகிதமுறு மூலத்தின் தொகுதி 6 இன் வகுத்தியாகவும் பகுதி 1 இன் வகுத்தியாகவும் இருக்கும். எனவே விகிதமுறு மூலங்களாக இருக்கக்கூடியவை: ±1, ±2, ±3, and ±6.

இவற்றுள் P(1) = P(2) = P(-3) = 0 ஆக அமைவதைக் காணலாம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவையின் விதமுறு மூலங்கள்: 1, 2, -3 இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் படி மூன்று என்பதால் இதன் மூலங்களனைத்தும் விகிதமுறு மூலங்கள் (ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் சில மூலங்கள் விகிதமுறு மூலங்களாகவும் சில விகிதமுறா மூலங்களாகவும் அமையலாம்).

மேற்கோள்கள்

• Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-673-38638-4, pp. 216–221
• Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, கூகுள் புத்தகங்களில்)
• Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy, p. 23, கூகுள் புத்தகங்களில்)

வெளியிணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Rational Zero Theorem", MathWorld.
• RationalRootTheorem பரணிடப்பட்டது 2011-06-28 at the வந்தவழி இயந்திரம் at PlanetMath
• Another proof that n^th roots of integers are irrational, except for perfect nth powers by Scott E. Brodie
• The Rational Roots Test at purplemath.com