வெளிவட்டப்புள்ளியுரு

வெளிவட்டப்புள்ளியுரு (epicycloid) என்பது ஒரு சிறிய வட்டமானது அதைவிடப் பெரியதொரு நிலையான வட்டத்துக்கு வெளியே அதனைத் தொட்டவாறே நழுவாமல் உருளும் போது, உருளும் வட்டத்தின் மீது அமைந்த ஒரு புள்ளியின் பாதையை வரையக் கிடைக்கும் வளைவரை ஆகும். இது ஒரு வகைச் சில்லுரு ஆகும். வட்டப்புள்ளியுருவிற்கும் வெளிவட்டப்புள்ளியுருவிற்கும் உள்ள வேறுபாடு உருளும் வட்டம் எதன் மீது உருளுகிறது என்பதில் உள்ளது. வட்டப்புள்ளியுருவில் உருளும் வட்டம் ஒரு நிலையான கோட்டின் மீதும் வெளிவட்டப்புள்ளியுருவில் உருளும் வட்டம் ஒரு நிலையான வட்டத்துக்கு வெளியிலும் உருள்கின்றன.

R = 3 அலகு ஆரமுள்ள பெரிய வட்டத்திற்கு வெளிப்புறமாக அதனைத் தொட்டபடியே நழுவாமல், r = 1 அலகு ஆரமுள்ள சிறியவட்டம் உருளும்போது வரையப்படும் வளைவரை வெளிவட்டப்புள்ளியுரு (சிவப்பு).

உருளும் வட்டமானது நிலையான வட்டத்திற்கு உள்ளே உருளும்போது உருளும் வட்டத்தின் மீது அமைந்த ஒரு புள்ளியின் பாதையை வரையக் கிடைக்கும் வளைவரை உள்வட்டப்புள்ளியுரு ஆகும்.

பண்புகள்

• உருளும் சிறுவட்டத்தின் ஆரம் r, வட்டத்தின் ஆரம் R = kr எனில் வெளிவட்டப்புள்ளியுருவின் துணையலகுச் சமன்பாடுகள்:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

(அல்லது)

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

• k ஒரு முழு எண் எனில், வெளிவட்டப்புள்ளியுரு மூடிய வளைவரையாகவும் k கூர்ப்புள்ளிகளை உடையதாகவும் இருக்கும். (கூர்ப்புள்ளிகளில் வளைவரை, வகையிடக்கூடியதல்ல.)

• k ஒரு விகிதமுறு எண் மற்றும் அதன் எளிய வடிவம்: k = p /q எனில், இவ்வளைவரை p கூர்ப்புள்ளிகளைக் கொண்டிருக்கும்.

• k ஒரு விகிதமுறா எண் எனில், இவ்வளைவரை மூடியதாக இல்லாமல், பெரிய வட்டத்திற்கும் R + 2r ஆரமுள்ள மற்றொரு வட்டத்திற்கும் இடையேயுள்ள இடைவெளியை நிரப்பியவாறு அமையும்.

• வெளிவட்டப்புள்ளியுரு, வெளிச்சில்லுருவின் ஒரு சிறப்புவகை.

• ஒரு கூர்ப்புள்ளியுடைய வெளிவட்டப்புள்ளியுரு ஒரு இதயவளை ஆகும்.

• ஒரு வெளிவட்டப்புள்ளியுருவும் அதன் மலரியும் வடிவொத்தவை.[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்

• வெளிவட்டப்புள்ளியுருவின் வகைகள்
• 
  k = 1
• 
  k = 2
• 
  k = 3
• 
  k = 4
• 
  k = 2.1 = 21/10
• 
  k = 3.8 = 19/5
• 
  k = 5.5 = 11/2
• 
  k = 7.2 = 36/5

நிறுவல்

புள்ளி $p$ இன் இருப்பிடம் காணல்:

தொடுபுள்ளியிலிருந்து நகரும் புள்ளிவரை ($p$) உள்ள கோண அளவு $\alpha$ (ரேடியனில்)

தொடக்கப்புள்ளியிருந்து தொடுபுள்ளி வரயிலான கோணம் $\theta$ (ரேடியனில்)

உருளும் வட்டம் நழுவாமல் உருளுவதால்:

$\ell _{R}=\ell _{r}$

ரேடியனின் வரையறைப்படி:

$\ell _{R}=\theta R,\ell _{r}=\alpha r$

இவற்றிலிருந்து:

$\theta R=\alpha r$

எனவே $\alpha ,$ $\theta$ இரண்டுக்குமானத் தொடர்பு:

$\alpha ={\frac {R}{r}}\theta$........(1)

படத்திலிருந்து, நகரும் புள்ளி $p$ இன் நிலையைக் கீழ்க்காணும் மதிப்புகள் தருவதைத் தெளிவாகக் காண முடியும்:

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)$

(1) இல் உள்ளபடி $\alpha ,$ மதிப்பைப் பிரதியிட்டுச் சுருக்க:

$x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

மேற்கோள்கள்

• J. Dennis Lawrence (1972). A catalog of special plane curves. Dover Publications. பக். 161,168–170,175. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-60288-5. https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr. 

வெளி இணைப்புகள்

• Epicycloid, MathWorld
• "Epicycloid" by Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project, 2007
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Epicycloid", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம்.